专题12 圆锥曲线的中点弦问题（解析版）

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高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020 版】
结论十二：圆锥曲线的中点弦问题
结
论
1.在椭圆 E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线 y=kx(k≠0)与椭圆 E交于 A,B 两点,过A,B 两点作椭圆的切线 l,l',有
l∥l',设其斜率为 k0,则k0·k=-
b2
a2
.
(2)如图②所示,若直线 y=kx 与椭圆 E交于 A,B 两点,P 为椭圆上异于 A,B 的点,若直线
PA,PB 的斜率存在,且分别为 k1,k2,则k1·k2=-
b2
a2
.
(3)如图③所示,若直线 y=kx+m(k≠0 且m≠0)与椭圆 E交于 A,B 两点,P 为弦 AB 的中点,设
直线 PO 的斜率为 k0,则k0·k=-
b2
a2
.
2.在双曲线 E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:
(1)k0·k=
. (2)k1·k2=
b2
a2
. (3)k0·k=
b2
a2
.
解
读
这些结论中的第（1）（3）个可以利用“点差法”来完成：①设出弦的两端点的坐标；
②代入圆锥曲线方程；③两式相减，在用平方差公式展开；④整理、转化为弦所在直线
的斜率与弦中点和原点连线的斜率的关系，然后求解．
典
例
如果 是椭圆 的任意一条与 轴不垂直且不过原点的弦， 为椭圆的中心， 为
的中点，则 的值为________________．
1
解
析
由题意，设直线方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，
因为 为 的中点，所以 的横坐标为 ，
又由 ，
所以点 的纵坐标为 ，则 ，
所以 .
反
思
本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中把直
线的方程和椭圆的方程联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查
了推理与运算能力，属于中档试题．
针对训练*举一反三
1．设椭圆的方程为 1，直线 AB 不经过原点，而且与椭圆相交于 A，B两点，M为AB 的中点．
若直线 AB 的斜率为 1，则直线 OM 的斜率不可能是（ ）
A．B．C．D．﹣1
【答案】D
2
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