专题11.4 随机事件的概率与古典概型（精讲）-2022年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）

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专题 11.4 随机事件的概率与古典概型
【考纲要求】
1.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概率
的概念.
2.了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.
【知识清单】
知识点 1. 随机事件的概率
1．随机事件和确定事件：在一定 的条件下所出现的某种结果叫做事件.
(1)在条件
S
下，一定会发生的事件叫做相对于条件
S
的必然事件．
(2)在条件
S
下，一定不会发生的事件叫做相对于条件
S
的不可能事件．
(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．
(4)在条件
S
下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．
(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母
, , ,A B C
表示．
2．频率与概率
(1)在相同的条件
S
下重复
n
次试验，观察某一事件
A
是否出现，称
n
次试验中事件
A
出现的次数
A
n
为事
件
A
出 现的频数，称事件
A
出现的比例
 
A
n
n
f A n
为事件
A
出现的频率．
(2)对于给定的随机事件
A
，如果随着试验次数的增加，事件
A
发生的频率
稳定在某个常数上，把
这个常数记作
 
p A
，称为事件
A
的概率，简称为
A
的概率．
3．互斥事件与对立事件
互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即
A B
为不可能事件(
A B
)，则称事件
A
与事件
B
互斥，其含义是：事件
A
与事件
B
在任何一次试验中不会同时发生．
一般地，如果事件
1 2
, , ,
n
A A A
中的任何两个都是互斥的，那么就说事件
1 2
, , ,
n
A A A
彼此互斥.
对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即
A B
为不可能事件，而
A B
为必然事件，那么事件
A
与事件
B
互为对立事件，其含义是：事件
A
与事件
B
在任何一次试验中
有且仅有一个发生．
互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互
斥是两个事件对立的必要非充分条件.
4.事件的关系与运算
1
定义 符号表示
包含关系 如果事件
A
发生，则事件
B
一定发生，这时称事件
B
包含
事件
A
(或称事件
A
包含于事件
B
)
(或
)
相等关系 若
且
，那么称事件
A
与事件
B
相等
A B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件
A
发生或事件
B
发生，则称此事
件为事件
A
与事件
B
的并事件(或和事件)
A B
(或
A B
)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件
A
发生且事件
B
发生，则称此事
件为事件
A
与事件
B
的交事件(或积事件)
A B
(或
AB
)
互斥事件 若
A B
为不可能事件，那么称事件
A
与事件
B
互斥
A B
对立事件 若
A B
为不可能事件，
A B
为必然事件，那么称事件
A
与事件
B
互为对立事件
A B
且
A B  
5.随机事件的概率
事件
A
的概率：在大量重复进行同一试验时,事件
A
发生的频率
n
m
总接近于某个常数，在它附近摆动，这
时就把这个常数叫做事件
A
的概率,记作
 
p A
.[来源:Z#xx#k.Com]
由定义可知
 
0 1p A 
，显然必然事件的概率是
1
，不可能事件的概率是
0
.
5．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：
 
0 1p A 
.
(2)必然事件的概率：
 
1p A
.[来源:学.科.网]
(3)不可能事件的概率：
 
0p A
.
(4)互斥事件的概率加法公式：
①
   
p A B p A p B 
(
,A B
互斥)，且有
 
 
 
1p A A p A p A 
．
②
 
1 2 1 2n n
p A A A p A p A p A    
(
1 2
, , ,
n
A A A
彼此互斥)．
(5)对立事件的概率：
 
 
1P A P A 
．
知识点 2. 古典概型
1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件
A
由几个基本事
件组成.如果一次试验中可能出现的结果有
n
个,即此试验由
n
个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性
2
都相等,那么每一基本事件的概率都是
n
1
.如果某个事件
A
包含的结果有
m
个,那么事件
A
的概率
P
（
A
）=
n
m
.
基本事件的特 点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．
2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
② 每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
概率公式：
P
(
A
)＝.
[常用结论]
1．频率与概率
频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性
的大小．
2．互斥与对立
对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立．
3．概率加法公式的注意点
(1)要确定
A
，
B
互斥方可运用公式．
(2)
A
，
B
为对立事件时并不一定
A
与
B
发生的可能性相同，即
P
(
A
)＝
P
(
B
)可能不成立．
【考点梳理】
考点一 ： 随机事件间的关系
【典例 1】（2020·云南高二月考）从装有 2个红球和 2个白球的口袋内任取 2个球，互斥而不对立的两个
事件是（ ）
A．至少有 1个白球；都是白球
B．至少有 1个白球；至少有 1个红球
C．恰有 1个白球；恰有 2个白球
D．至少有 1个白球；都是红球
【典例 2】（2020·云南丽江第一高级中学高二期中）抽查件产品，设“至少抽到 件次品”为事件 ，
则 的对立事件是（ ）
A．至多抽到 件正品 B．至多抽到 件次品
C．至多抽到 件正品 D．至多抽到 件正品
【总结提升】
8 3
M
M
2 2
5 3
3
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