专题11 解析几何与平面向量相结合问题（第五篇）（解析版）
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第五篇 解析几何
专题 11 解析几何与平面向量相结合问题
类型 对应典例
解析几何与向量线性运算相结合问题 典例 1
解析几何与数量积运算相结合问题 典例 2
解析几何与共线相结合问题 典例 3
解析几何与模长相结合问题 典例 4
【典例 1】【宁夏银川一中 2020 届高三月考】已知 ， 两点分别在 x轴和 y轴上运动，
且 ，若动点 满足 ．
求出动点 P的轨迹对应曲线 C的标准方程；
一条纵截距为 2的直线 与曲线 C交于 P，Q两点，若以 PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．
【思路引导】
（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．
（2）直线 l1斜率必存在，且纵截距为 2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出 k的值，问题得以解决．
【详解】
(1) 因为
即
所以
所以
又因为 ,所以
1
即: ,即
所以椭圆的标准方程为
(2) 直线 斜率必存在，且纵截距为 ,设直线为
联立直线 和椭圆方程
得:
由,得
设
以 直径的圆恰过原点
所以 ,
即
也即
即
将(1)式代入,得
即
解得 ,满足（*）式，所以
2
所以直线
【典例 2】【云南省楚雄州 2020 届高三模拟】已知椭圆 ( )的左、右焦点分别是
， ，点 为 的上顶点，点 在 上， ，且 .
（1）求 的方程；
（2）已知过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，垂直于 的直线 过 且与椭圆 交于 ， 两
点，若 ，求 .
【思路引导】
（1）设 ，由已知 ，求得 的坐标为 ，代入椭圆方程，得
；再由 ，求得 ，结合 ，求出 值，即可求得结论；
（2）先讨论直线 斜率不存在和斜率为 0的情况，验证不满足条件，设直线 的方程为
，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出 ；
再将直线 方程 与椭圆联立，求出 ，由 求出 的值，进而求出 ，再求
出点 到直线 的距离，即可求解.
【详解】
3
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