专题11 二次函数（二）（压轴篇）（解析版）

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专题 11 二次函数（二）压轴篇

母题揭秘：

（1）本市二次函数真题详情剖析；

（2）二次函数压轴大题题型知识点、解题思路高度总结；

（3）本市近年的二次函数压轴题中考模拟题精心汇编。

【母题来源 1】（2017·上海中考真题）已知在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y= x﹣2+bx+c

经过点 A（2，2），对称轴是直线 x=1，顶点为 B．

（1）求这条抛物线的表达式和点 B的坐标；

（2）点 M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 m，联结 AM，用含 m的代数式表示∠AMB 的

余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 C在x轴上．原抛物线上一点 P平移后的对应点为

点Q，如果 OP=OQ，求点 Q的坐标．

【答案】（1）（1，3）；（2）cot AMB=∠=m 2﹣ ；（3）点 Q的坐标为（，﹣ ）或（

，﹣ ）

【解析】

分析：（1）依据抛物线的对称轴方程可求得 b的值，然后将点 A的坐标代入 y= x﹣2+2x+c 可求得 c的值；

（2）过点 A作AC BM⊥，垂足为 C，从而可得到 AC=1，MC=m 2﹣ ，最后利用锐角三角函数的定义求解

即可；

（3）由平移后抛物线的顶点在 x轴上可求得平移的方向和距离，故此 QP=3，然后由点 QO=PO，QP y∥轴

可得到点 Q和P关于 x对称，可求得点 Q的纵坐标，将点 Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的 x

的值，则可得到点 Q的坐标．

解：（1）∵抛物线的对称轴为 x=1，

x=∴ ﹣ =1，即 =1，解得 b=2．

y= x∴ ﹣ 2+2x+c．

将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．

∴抛物线的解析式为 y= x﹣2+2x+2．

配方得：y=﹣（x 1﹣ ）2+3．

∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．

（2）如图所示：过点 A作AC BM⊥，垂足为 C，则 AC=1，C（1，2）．

M∵（1，m），C（1，2），

MC=m 2∴ ﹣ ．

cot AMB=∴ ∠ =m 2﹣ ．

（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在 x轴上，

∴抛物线向下平移了 3个单位．

∴平移后抛物线的解析式为 y= x﹣2+2x 1﹣ ，PQ=3．

OP=OQ∵，

∴点 O在PQ 的垂直平分线上．

又∵QP y∥轴，

∴点 Q与点 P关于 x轴对称．

∴点 Q的纵坐标为﹣ ．

将y=﹣ 代入 y= x﹣2+2x 1﹣ 得：﹣x2+2x 1=﹣ ﹣ ，解得：x= 或x= ．

∴点 Q的坐标为（，﹣ ）或（，﹣ ）．

【母题来源 2】（2016·上海中考真题）如图，抛物线（）经过点，与轴

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