专题9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（原卷版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

一、考点全归纳....................................................................................................................................................... 1

二、题型全归纳....................................................................................................................................................... 3

题型一直线的倾斜角与斜率.......................................................................................................................... 3

题型二直线的方程......................................................................................................................................... 4

题型三直线方程的综合问题.......................................................................................................................... 6

题型四妙用斜率求解问题.............................................................................................................................. 8

类型一比较大小..................................................................................................................................... 8

类型二求最值......................................................................................................................................... 9

类型三、证明不等式................................................................................................................................ 9

三、高效训练突破................................................................................................................................................. 10

一、考点全归纳

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线 l与x轴相交时，取 x轴作为基准，x轴正向与直线 l向上方向之间所成的角 α叫做直线 l

的倾斜角．当直线 l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.

(2)范围：直线 l的倾斜角 α的取值范围是[0°，180°)．

2．斜率公式

(1)若直线 l的倾斜角 α≠90°，则斜率 k＝tan_α．

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l上且 x1≠x2，则 l的斜率 k＝．

3．直线方程的五种形式

名称已知条件方程适用范围

点斜式斜率 k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－x1)不含直线 x＝x1

斜截式

斜率 k与直线在 y轴

上的截距 by＝kx＋b

不含垂直于 x轴的直

线

两点式

两点(x1，y1)，

(x2，y2)

＝

(x1≠x2，y1≠y2)

不含直线 x＝x1(x1＝

x2)和直线 y＝y1(y1＝

y2)

截距式直线在 x轴、y轴上

的截距分别为 a，b

＋＝1

(a≠0，b≠0)

不含垂直于坐标轴和

过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

(A2＋B2≠0)

平面直角坐标系内的

直线都适用

【常用结论】

1．直线倾斜角和斜率的关系

不是倾斜角越大，斜率 k就越大，因为 k＝tan α，当 α∈时，α越大，斜率 k就越大，同样 α∈时也是如此，

但当 α[0∈，π)且α≠时就不是了．

2．五种特殊位置的直线方程

(1)x轴：y＝0.

(2)y轴：x＝0.

(3)平行于 x轴的直线：y＝b(b≠0)．

(4)平行于 y轴的直线：x＝a(a≠0)．

(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.

二、题型全归纳

题型一直线的倾斜角与斜率

【题型要点】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．

2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

【核心素养】：数学抽象，数学运算

【规律方法】(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤

① 求出斜率 k＝tan α的取值范围；

② 利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 α的取值范围．

(2)斜率的求法

① 定义法：若已知直线的倾斜角 α或α的某种三角函数值，一般根据 k＝tan α求斜率；

② 公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 k＝(x1≠x2)求斜率．

【易错提醒】直线倾斜角的范围是，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围

时，要分，与三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角 α∈时，斜率 k∈；当 α＝时，斜率不存

在；当 α∈时，斜率 k.∈

【例 1】直线 xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.　　　　　　　 B．∪

C. D．∪

【例 2】直线 l过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线 l斜率的取值范围为_

_______．

题型二直线的方程

【题型要点】根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，

体会斜截式与一次函数的关系．

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