专题04 立体几何的探索性问题（第三篇）（解析版）

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第三篇立体几何

专题 04 立体几何的探索性问题

类型对应典例

探索位置问题典例 1

“线定，面动”探索线面平行问题典例 2

“线动，面定”探索线面平行问题典例 3

探索线线垂直问题典例 4

探索线面垂直问题典例 5

探索面面垂直问题典例 6

探索二面角问题典例 7

【典例 1】【2020 届江苏巅峰冲刺卷】

如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC

的中点．

（1）求异面直线 AP，BM 所成角的余弦值；

（2）点 N在线段 AD 上，且 AN＝λ，若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为，求 λ的值．

【思路引导】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）由 AN＝λ，设 N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面 PBC 的一个法向量，利

用直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为，由|cos〈，〉|＝＝＝

求解.

【详解】

（1）因为 PA⊥平面 ABCD，且 AB，AD⊂平面 ABCD，所以 PA⊥AB，PA⊥AD.

又因为∠BAD＝90°，所以 PA，AB，AD 两两互相垂直．

分别以 AB，AD，AP 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则由 AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

又因为 M为PC 的中点，所以 M(1，1，2)．

所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，

所以 cos〈，〉＝

＝＝，

所以异面直线 AP，BM 所成角的余弦值为 .

（2）因为 AN＝λ，所以 N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，

则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．

设平面 PBC 的法向量为＝(x,y,z)，

则即

令x＝2，解得 y＝0，z＝1，

所以＝(2，0，1)是平面 PBC 的一个法向量．

因为直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为，

所以|cos〈，〉|＝＝＝，

解得 λ＝1∈[0，4]，

所以 λ的值为 1.

【典例 2】【2020 届江西省赣州市高三上学期期末考试】

如图，在平行四边形中，，平面平面，且

（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；

（2）求二面角的余弦值.

【思路引导】

（1）容易判断出点为的中点，根据中位线定理得到，再根据线面平行的判定定理证明即

可；

（2）根据题目给出的数据，找出两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角

的余弦值.

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