专题3.5 高考解答题热点题型（二）利用导数解决不等式恒（能）成立问题（原卷版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 3.5 高考解答题热点题型（二）利用导数解决不等式恒(能)成立问题

一、题型全归纳....................................................................................................................................................... 1

题型一恒成立问题......................................................................................................................................... 1

类型一分离参数法求范围...................................................................................................................... 1

类型二把参数看作常数利用分类讨论方法解决................................................................................... 3

题型二能成立问题......................................................................................................................................... 5

题型三不等式存在性成立问题...................................................................................................................... 6

二、高效训练突破................................................................................................................................................... 8

一、题型全归纳

题型一恒成立问题

类型一分离参数法求范围

【题型要点】1.若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立，只需满足 f(x)min≥a或g(x)max≤a即可，利用导数方法求出 f(x)的最

小值或 g(x)的最大值，从而问题得解．

2.利用分离参数法来确定不等式 f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：

(1)将参数与变量分离，化为 f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式．

(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．

(3)解不等式 f1(λ)≥f2(x)max 或f1(λ)≤f2(x)min，得到 λ的取值范围．

【例 1】（2020 年新课标全国一卷）已知函数 .（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；

（2）当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a的取值范围.

类型二把参数看作常数利用分类讨论方法解决

【题型要点】对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用

导数研究单调性、最值，从而得出参数范围．

【例 2】已知函数 f(x)＝ln x－ax，a∈R.

(1)求函数 f(x)的单调区间；

(2)若不等式 f(x)＋a＜0在x(1∈，＋∞)上恒成立，求 a的取值范围．

题型二能成立问题

【题型要点】存在 x[∈a，b]，f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a.

存在 x[∈a，b]，f(x)≤a成立⇔f(x)min≤a.

存在 x1[∈a，b]，对任意 x2[∈a，b]，f(x1)≤g(x2)成立⇔f(x)min≤g(x)min.

【例 1】已知函数 f(x)＝3ln x－x2＋x，g(x)＝3x＋a.

(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求 a的值；

(2)若∃x0＞0，使 f(x0)＞g′(x0)成立，求参数 a的取值范围．

题型三不等式存在性成立问题

【题型要点】①任意 x1∈M，任意 x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max；

②任意x1∈M，存在 x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min；

③存在x1∈M，存在 x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min；

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