专题2.5 二次函数与幂函数（原卷版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.5 二次函数与幂函数

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一幂函数的图象及性质(.............................................................................................................................1

题型二求二次函数的解析式..............................................................................................................................2

题型三二次函数的图象与性质..........................................................................................................................4

命题角度一　二次函数图象的识别问题....................................................................................................4

命题角度二　二次函数的单调性及最值问题............................................................................................4

命题角度三　一元二次不等式恒成立问题................................................................................................5

题型四分类讨论思想在二次函数问题中的应用............................................................................................6

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................8

一、题型全归纳

题型一幂函数的图象及性质

【题型要点】1．巧识幂函数的图象和性质

2.幂函数的图象与性质问题的解题策略

(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．

(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借

助其单调性进行比较或应用．

(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思

想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．

【例 1】已知幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与 x轴、y轴没有交点，且关于 y轴对称，则 m的所有可能

取值为．

【例 2】幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是(　　)

题型二求二次函数的解析式

【题型要点】求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择

规律如下：

【例 1】已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．

题型三二次函数的图象与性质

命题角度一　二次函数图象的识别问题

【题型要点】确定二次函数图象应关注的三个要点

一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．

二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．

三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与 y轴的交点、与 x轴的交点，函数图象的最高点或最低点

等．

从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．

【例 1】(2020·陕西榆林一中模拟)如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对

称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：① b2>4ac；② 2a－b＝1；③ a－b＋c＝0；④ 5a<b.其中正确的结论是(

)

A．②④　　　　　　　　 B．①④

C．②③ D．①③

命题角度二　二次函数的单调性及最值问题

【题型要点】二次函数的单调性及最值问题

(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．

(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，

结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．

【例 1】求函数 f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值．

【例 2】函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数 a的取值范围是．

命题角度三　一元二次不等式恒成立问题

【题型要点】1.不等式恒成立求参数取值范围的思路

一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．

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