新高考数学之圆锥曲线综合讲义第22讲 等角问题（原卷版）

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第22 讲 等角问题
一、解答题
1．设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
2．如图,已知椭圆 :（ ）的离心率 ,短轴右端点为 ,为线段 的中
点.
（Ⅰ）求椭圆 的方程;
（Ⅱ）过点 任作一条直线与椭圆 相交于两点 ,试探究在 轴上是否存在定点 ,使得
,若存在,求出点 坐标;若不存在,说明理由.
3．椭圆 的离心率为 ，过点 的动直线 与椭圆相交于 两点，当直
线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得线段长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）在 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得直线 变化时，总有 ？若存在，求出点
1
的坐标；若不存在，请说明理由.
4．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，
点 在椭圆上.
（1）求 的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问：在 轴上是否在点 ，当 变化时，总有
？若存在求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
5．已知椭圆 ： ，直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点， 为
的中点.
（1）若直线 与直线 （ 为坐标原点）的斜率之积为 ，求椭圆 的方程；
（2）在（1）的条件下， 轴上是否存在定点 使得当 变化时，总有 （ 为坐标原
点）.若存在，求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
6．已知椭圆 C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆 C过点 M(4，1)，直线 l： 不过点 M，
且与椭圆交于不同的两点 A，B．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）求证：直线 MA，MB 与x轴总围成一个等腰三角形．
7．已知倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且
.
2
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