河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷
洛阳市 2022——2023 学年第一学期期中考试
高二数学试卷（理）
本试卷共 4页，共 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符
合题目要求的。
1．直线
x
4−y
5
= 2 在
y
轴上的截距是
A. 5 B. - 5 C. 10 D. -10
2.已知
A
（4,1,9)，
B
(2,4,3)，则线段
AB
的长为
A. 39 B.7 C. 5 D.
❑
√
5
3．已知直线
l1
:
ax +(a+2)y+2=0
与
l2
:
x+ay +1=0
垂直，则实数
a
的值为
A. 0 或 3 B. 0 或-3 C. - 3 D. 0
4. 若{
a，b , c
}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是
A.
a+b , a −b ，b
B.
a+b , a+b − c , c
C.
a+b , a −b , c
D.
a – c , b , c −a − b
5. 已知直线
l
:
3x+y − 6=0
和圆
C
:
x2+y2−2y − 4=0
交于
A，B
两点，则弦
AB
所对的圆心角的大小
为
A.
π
4
B.
π
3
C.
π
2
D.
2π
3
6. 已知四面体
ABCD
，
E，F
分别是
AB，CD
的中点，则
⃗
EF
=
A. -
1
2
⃗
AB
+
1
2
⃗
AC
+
1
2
⃗
AD
B.
1
2
⃗
AB
+
1
2
⃗
AC
-
1
2
⃗
AD
C.
1
2
⃗
AB
+
1
2
⃗
AC
+
1
2
⃗
AD
D.
1
2
⃗
AB
+
⃗
AC
+
⃗
AD
7. 已知
λ∈R
，当
λ
变化时，直线(
λ
+ 3)
x
+(
λ
+ 1)
y
+
λ
-1 = 0 恒过定点
A. (1,-2) B. (-1,2) C. (2, -1) D. (-2,1)
8. 已知直线
AB
的方向向量为
a ,
平面
α
的法向量为
n
，给出下列命题：
①若
a
•
n
= 0 则直线 AB //
α
.
②若
a
//
n
，则直线 AB
⊥α
.
③ 记直线
AB
与平面
α
所成角为
θ
，则
sin θ=a •n
¿a∨•∨n∨¿¿
④若
A∈α，C∈AB
，则点
A
到平面
α
的距离
d
=
¿
⃗
AC •n∨¿
¿n∨¿¿ ¿
其中真命题的个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. 圆
¿
+
y2
= 5 关于直线
y=− x
对称的圆的方程为
A.
¿
+
y2
= 5 B.
x2
+
(y −2)2
= 5
C.
¿
+
¿
= 5 D.
x2
+
¿
= 5
10. 已知点
D
在△
ABC
确定的平面内，
O
是空间任意一点，实数
x , y
满足
⃗
OD=x
⃗
OA
+
2y
⃗
OB
-
⃗
OC
，
则
x2
+
y2
的最小值为
A.
4
5
B.
2❑
√
5
5
C. 1 D. 2
11. 在四面体
A — BCD
中，平面
ABC ⊥
平面
DBC
，且
AB=BC=BD
,
∠CBD
= 60°，则直线 BC 与
平面
ABD
所成角的余弦值为
A.
❑
√
6
3
B.
❑
√
3
3
C.
❑
√
15
5
D.
❑
√
10
5
12. 若圆
x2
+
y2−4x − 4y −10=0
至少有三个不同的点到直线
l:y=kx
的距离为 2
❑
√
2
，则直线
l
的倾斜角
的取值范围是
A.[
π
12 ,π
4
]B. [
π
12 ,5π
12
]C. [
π
6,π
3
]D. [
0,π
2
]
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13. 已知
u
=
(3，a −b ，a+b)(a，b∈R)
是直线
l
的方向向量，
n
= (1,2,4)是平面
α
的法向量.若
l⊥α
，则
a b=¿
.
14. 已知
A
(3，1)，
B
(-1，5)两点到直线
l
:
ax +y+1=0
的距离相等，则
a
= .
15. 在棱长为 1的正方体
ABCD —
A1B1C1D1
中，
M
是底面
A1B1C1D1
内动点，且
B M
//平面
AD1C
，
当
∠D1MD
最大时，三棱锥
M − AD1C
的体积为 .
16. 若点
P
在直线
y=x
上移动，过
P
作圆:
x2
+
(y −3)2
= 2 的切线，切点分别为
A，B
，则|
AB
|的最小
值为 .
三、解答题：本大题共 6个小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。
17. (10 分)
已知 △
ABC
的三个顶点是
A
(0,4)，
B
(3,0)，
C
(5,6).
(1) 求边
BC
的垂直平分线的方程；
(2) 求经过
AB
，
AC
两边中点的直线的方程.
18. (12 分）
如图，平行六面体
ABCD− A1B1C1D1
的底面是菱形，且∠
C1CB
= ∠
C1CD
= ∠
BCD
=
600
,
CD
=
C C1
= 2
(1) 求
A C1
的长；^^
(2) 求异面直线
C A1
与
D C1
所成的角.
19. (12 分）
已知平面直角坐标系中有
A
(0,2)，
B
(4,2)，
C
(3,5)，
D
(0,4)四点.
(1) 判断这四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，说明理由；
(2) 一条光线从点
M
(-3，2)射出，经过
x
轴反射后与△
ABC
的外接圆☉
O1
相切.求
反射光线所在直线的方程.
20. (12 分)
在直角梯形
ABCD
中，
AD /¿BC
，
BC=2AD=2AB
=2
❑
√
2
，
∠ABC
=
9 00
如图（1). 把△
ABD
沿
BD
翻折，使得平面
ABD ⊥
平面
BCD
，如图（2).
(1) 求证:
CD⊥AB
;
(2) 若
M
为线段
BC
的中点，求点
M
到平面
ACD
的距离.
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