河南省开封市2022届高三第三次模拟考试理科数学答案

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（理科） ·1·
开封市 2022 届高三第三次模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题 5分，共 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
A
C
A
D
B
B
B
D
二、填空题（每小题 5分，共 20 分）
13.
1
2
14.
7
9
15.
3 3
2
16.
1
1 4
3 9
n
 
 
 
三、解答题（共 70 分）
17.（1）由正弦定理得：
=
sin sin
AB AC
C B
，即
4=
sin 45 sin 60
 
AC
，解得
.……5 分
（2）过
A
作
BC
的垂线
AO
，垂足为
O
，则
3
=4 sin 60 =4 =2 3
2
AO
.……6 分
①
=3 2 3AD
，此时满足条件的
ABD
有 0 个；……7 分
②
= 15AD
，因为
2 6 4
，
2 3 15 4 
，所以此时满足条件的
ABD
有 2 个；……8 分
③
= 21AD
，因为
4 21 2 6 
，所以此时满足条件的
ABD
有 1 个.……9 分
在③的情况下，由余弦定理得：
2 2 2
= + 2 cos AD AB BD AB BD B
，
即
21
21=16+ 8 2
 BD BD
，解得
=5BD
.……12 分
18.（1）由已知数据可得
2 4 5 6 8 5
5
x  
 
，
3 4 4 4 5 4
5
y
 
，……2 分
所以
 
   
5
1
3 1 1 0 0 0 1 0 3 1 6
i i
i
x x y y
     
，
 
 
522 2 2 2 2
1
3 1 0 1 3 2 5
i
i
x x
 
，
 
 
5222 2 2 2
1
1 0 0 0 1 2
i
i
y y
   
，……4 分
相关系数
 
 
5
1
5 5
2 2
1 1
6 3 10 0.95
10
2 5 2
 
 
 
 
 
i i
i
i i
i i
x x y y
r
x x y y
.……5 分
因为
0.75r
，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合
y
与
x
的关系.……6 分
由于
5
1
5
2
1
( )( ) 6=0.3
20
( )
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
 
 
，
=4 0.3 5 2.5a y bx  
，……8 分
所以
y
关于
x
的线性回归方程为
ˆ0.3 +2.5y x
.……10 分
ˆ
=9 5.2x y 当 时，
，所以西红柿亩产量的增加量约为 5.2 百千克.……12 分
（理科） ·2·
19.（1）如图，连接
BD
和
AC
交于点
O
，连接
OF
.
因为
, , ,B D E F
四点共面，
EF ABCD∥平面
，
=BDEF ABCD BD平面 平面
，
所以
EF BD∥
， ……2 分
因为底面
ABCD
是边长为 2 的菱形，
=60BAD
，
所以
=1=OD EF
，所以四边形
EFOD
为平行四边形， ……3 分
又因为
ED ABCD平面
，且
OD ABCD平面
，
所以
ED OD
，所以四边形
EFOD
为矩形，所以
EF OF
，……4 分
又因为
EF BD∥
，
AC BD
，所以
EF AC
，……5 分
且
=OF AC O
，所以
EF ACF平面
.……6 分
（2）由（1）易知，
, ,OA OB OF
两两垂直，如图，分别以
, ,OA OB OF
  
为
x y z， ，
轴建立空间直角坐标系
-O xyz
，…7 分
 
 
 
3, 0,0 0,1,0 = 3,0,0A B C 则 ， ， ，
 
0, 1,1 0,0,1E F， ，
 
 
 
3, 0,1 , = 0,1,0 , = 0, 1,1 , = 3,1,0 ,AF EF BF CB 
uuur uuur uuur uur
……8 分
设
1 1 1
( , , )x y zn
为平面
AEF
的法向量，
有
0,
0,
AF
EF
uuur
g
uuur
g
n
n
则
1 1
1
3 0,
0,
x z
y
 
所以平面
AEF
的一个法向量
(1, 0, 3)n
. ……9 分
设
2 2 2
( , , )x y zm
为平面
BCF
的法向量，
有
0,
0,
BF
CB
uuur
g
uur
g
m
m
则
2 2
2 2
0,
3 0,
y z
x y
 
 
所以平面
BCF
的一个法向量
(1, 3, 3)  m
. ……10 分
所以 cos<
,n m
>=
2 7
| || | 7
2 7
 
 
n m
n m
，
所求平面
AEF
与平面
BCF
所成锐二面角的余弦值为
7
7
. ……12 分
20.（1）直线
AM
的斜率为
( 2)
2
yx
x 
，直线
BM
的斜率为
( 2)
2
yx
x
，……2 分
由题意可知：
2 2
14 4 ( 2)
2 2 4
   
  ,
y y x y x
x x
，
所以曲线 C 的方程为：
 
2
21 2
4  
xy x
.……4 分
（2）不妨设
P
在
x
轴的上方，
AP
的斜率为
k
，则
0k
.
直线
AP
的方程为：
( 2)y k x 
，与椭圆方程
2
21
4
xy 
联立得：
2 2 2 2
(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k  
，……6 分
2 2
2 2
16 4 8 2
1 4 1 4
2  
 
 
p p
x x
k k
k k
，
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