河南省顶尖名校2021-2022学年高二上学期第三次素养调研试题 数学（文） PDF版含答案

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河南省顶尖名校 2021-2022 学年高二上学期第三次素养调研
文科数学试卷
考生注意：
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的
答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝4，则 a5等于
A.1 B.2 C.3 D.4
2.在△ABC 中，若 A＝60°，B＝45°，AC＝4，则 BC＝
A.2
6
B.2
2
C.
4 6
3
D.4
2
3.已知 a>b>c，且 a＋b＋c＝
2
，下列不等式中恒成立的是
A.ab>ac B.ab>bc C.ac>ab D.a|b|>c|b|
4.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB//CD，∠ABC＝90°，AB＝2，CD＝5，BC＝6，则∠CAD＝
A.30° B.45° C.60° D.75°
5.若数列{an}是等比数列，a1＝1，a4＝8，则 a5＋a6＝
A.16 B.32 C.48 D.64＋128
2
6.在△ABC 中，
sinA sinB sinC
4 5 m
 
，则下列说法正确的是
A.当 m＝1 时，△ABC 为锐角三角形 B.当 m＝6 时，△ABC 为钝角三角形
C.当 m＝5 时，△ABC 为等腰三角形 D.仅当 m＝3 时，△ABC 为直角三角形
7.已知数列{an}为等差数列，它的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝（n－4）2＋λ，则使 Sn>0 成立的
正整数 n 的最小值是
A.8 B.9 C.5 D.4
8.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重
悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望。吴斌同学在今年国庆期
间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即
图中线段 AB 的长度）。他在该雕塑塔的正东 C 处沿着南偏西 60°的方向前进 7
2
米后达到
D 处（A，C，D 三点在同一个水平面内），测得图中线段 AB 在东北方向，且测得点 B 的仰角
为 71.565°，则该雕塑的高度大约是（参考数据：tan71.565°≈3）
A.19 米 B.20 米 C.21 米 D.22 米
9.已知函数 f（x）＝x3＋2x，若正实数 m，n 满足 f（m－mn）＋f（n）＝0，则 m＋n 的最小
值为
A.8 B.4 C.2 D.
8
9
10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则数列{
n n 1
1
a a
}的前 99 项和为
A.
B.
C.
198
199
D.
99
199
11.已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝
n
n
a n
a 1 n
， 为奇数
， 为偶数
，则 a2021＝
A.4039 B.2021 C.1011 D.1010
12.我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，
并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一
为从隅，开平方得积。把以上文字写成公式，即 S＝
2
2 2 2
2 2
1 a b c
c a
4 2
 
 
 
 
 
 
 
 
（其中 S
为三角形的面积，a，b，c 为三角形的三边）。在斜△ABC 中，a，b，c 为内角 A，B，C 所对
应的三边，若 a＝c（cosB＋
3
cosC），且 asinC＝
3
sinB，则△ABC 的面积最大时，B＝
A.
5
6
B.
2
3
C.
3
D.
6
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.直线
2 1y x 
过椭圆
 
2 2
2 2 1 0
x y a b
a b
 
的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为
____________.
14.在直三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中，
1AC BC 
，
2AB
，
12AA
，则点
C
到平面
1
ABC
的距离为____________.
15.若圆
 
2 2 2
2 4 0x y r r  
上，有且仅有一个点到
 
1,0
的距离为 1，则实数
r
的值为____________.
16.已知双曲线
C
：
 
2 2
2 2 1 0, 0
x y a b
a b
 
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，
A
是
C
的左顶
点，点
P
在过点
1
F
且斜率为
3
4
的直线上，
2
PF A△
为等腰三角形，
2 1 120PF F  
，则
双曲线的离心率为____________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17.（10 分）已知椭圆
C
的一个焦点
F
2（1，0），且短轴长为
32
．
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）若点
P
在
C
上，且∠
PF
1
F
2＝90°，求△
PF
1
F
2的面积．
18．(12 分）如图，在棱长为
1
的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，点
M
是
BC
的中点.
（1）求证：
1/ /BD
平面
1
C DM
；
（2）求直线
1
BD
到平面
1
C DM
的距离；
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