河南省顶级名校2022届高三5月全真模拟考试——数学（理）

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河南省顶级名校 2022 届高三 5月全真模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设 z＝1＋i，则
A．｜z＋1｜＝2 B． ＝1－i C．z2＝－2i D．z· ＝2
2．已知函数 f（x）＝ ，f（x＋1）的定义域为 M，f（2x）的定义域为 N，则
A．M＝N B．M∩N＝ C．M N D．N M
3． 的展开式中的常数项为
A．－80 B．80 C．－16 D．16
4．函数 f（x）＝ 在下列区间单调递减的是
A．[，] B．[，] C．[－ ， ] D．[－ ， ]
5．设 ， 为两个平面，则 ⊥ 的充要条件是
A． ， 平行于同一个平面 B． ， 垂直于同一个平面
C． 内一条直线垂直于 内一条直线 D． 内存在一条直线垂直于
6．设 x，y满足约束条件 则 z＝－x＋2y 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知椭圆 C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，A为C上一点，且
·＝0，若 tan AF∠1F2＝ ，则 C的离心率为
A． B． C． D．
8．设 a，b为两个互相垂直的单位向量，则
A．｜a＋b｜＝2 B．｜2a＋b｜＝3｜2a－b｜
C．（2a＋b）⊥（a－2b） D．a·（2a＋b）＝b·（2a＋b）
9．过圆 C1：x2－2x＋y2＝0上的点 P作圆 C2：x2＋y2－8x＋8y＋28＝0的切线，切点为 Q，
则｜PQ｜的最小值为
A．2 B． C． D．
10．记 为等差数列{ }的前 项和，且 ＝ ≠ ，则
A．a5＝0 B．a4＋a6＜0 C．S10＝0 D．S2＋S11＜0
11．已知 a＝ ，b＝ ，c＝ ，且计算可知 a－b－c＝ ．有下述四个结
论：
a① ＋2c2＝1，② a2＋b2＋c2＝ ，③ abc＝－ ，④（a＋1）（b＋1）（c＋1）＝ ．
其中所有正确结论的编号是
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③
12．己知 e2a－2aea＝e2b－beb，则
A．a＋b≥0 B．a＋b≤0 C．ab≥0 D．ab≤0
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．双曲线 的焦距为__________．
14．己知等比数列{ }为递增数列，且 ＝ ， ＋ ＝ ，则 ＝__________．
15．若随机变量 的数学期望和方差分别为 ， ，则对于任意 ＞0，不等式
P（｜ － ｜≥ ）≤ 成立．某次考试满分 150 分，共有 1200 名学生参加
考试，全体学生的成绩 ～N（90，62），则分数不低于 110 分的学生不超过_________
人．
16．在三棱锥 P—ABC 中，PA＝PB＝2，PC＝ ，底面 ABC 是边长为 2的等边三角形，
则在三棱锥 P—ABC 内，半径最大的球的表面积为__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
如图，在△ABC 中，D为边 BC 的中点，∠ACB 的平分线分别交 AB，AD 于E，F两
点．
（1）证明：sin ABC·sin CAD∠ ∠ ＝sin ACB·sin BAD∠ ∠ ；
（2）若∠BAC＝ ，sin ABC∠＝ ，AD＝ ，求 DE．
18．（12 分）
某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每
天
睡眠时间少于7小时的学生占到 40％，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有
10％．现
从所有问卷中随机抽取 4份问卷进行回访（视比率为概率）．
（1）求抽取到的问卷中至少有两份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
（2）记抽取到的问卷中调查结果为少于7小时的份数为 X，求 X的概率分布及数学期望
E（X）．
19．（12 分）
如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为 AB，A1D1的中点．
（1）证明：EF∥平面 ACD1；
（2）设平面 B1EF 与平面 ACD1的交线为 l，求二面
角B1—l—C 的正弦值．
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