第10讲 实际问题与一元二次方程（解析版）-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（人教版）

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第10 讲 实际问题与一元二次方程
【学习目标】
1.学会用二元一次方程组解决调配问题.
2.归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
3.初步体会列方程组解决实际问题的步骤，将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
4.会用二元一次方程组解决面积、行程问题.
5.体会列方程组解决实际问题的步骤，将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
【基础知识】
1.用二元一次方程组解决的实际问题一定含有两个未知量，能找到两个相等关系.
2.列方程组解应用题的一般步骤：
(1)分析所有的已知量、未知量，恰当地设未知数.
(2)找相等关系，列方程组.
(3)解二元一次方程组.
(4)检验解的合理性.
【概念理解】
1.判断对错：
(1)一个两位数，个位上的数字是 x，十位上的数字是 y，这个两位数是 yx.　(×)
(2)甲比乙的两倍多 3，理解为甲=2 乙+3.　(√)
(3)静水速度-逆水速度=水速.　(√)
2.填空：端午节时，王老师用 72 元钱买了荷包和五彩绳共 20 个.其中荷包每个 4元，五彩绳每个 3元，在
这个问题中的等量关系是：(1)荷包个数+五彩绳个数=20；(2) 荷包钱数 + 五彩绳钱数 =72.
3.一支部队第一天行军 4小时，第二天行军 5小时，两天共行军 98km，且第一天比第二天少走 2km，设第
一天行军的平均速度为 x km/h，第二天行军的平均速度为 y km/h，可列方程组 。
3、列方程组常用的等量关系：
(1)面积问题：
① 长方形的面积=长 × 宽 ；
② 正方形的面积=边长 × 边长 ；
③ 圆的面积=( 半径 ) 2
×π .
(2)工程问题：工作量=工作时间 × 工作效率 .
(3)浓度问题(以盐水为例)：
① 浓度= ×100%；
② 盐水=盐 + 水 ；
③ 盐=盐水 × 盐水浓度 .
(4)利润问题：
① 利润=售价 - 进价 ；
② 售价=原价(标价)× ；
③ 利润率= ×100%= ×100%.
【概念理解】
1.判断对错：
(1)一个盒身配两个盒盖，则盒身与盒盖的比是 1 2.∶(√)
(2)阶梯电价：月用电小于 50°，每度 0.4 元，超过的部分每度 0.6 元，小明家用电 80°，应交电费 48 元.
(×)
2.(1)一件商品，标价 100 元，七折出售，则卖价是 70
元.
(2)进价 10 元的商品，卖 12 元，利润率是 20%.
【考点剖析】
考点一：和、差、倍、分问题
例1．4月9日上午 8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 34 岁的男子带着他的两个孩子一
同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
【详解】
解：设现在妹妹的年龄为 x岁，哥哥的年龄
为y岁，由题意得：
解得
答：妹妹的年龄为 6岁，哥哥的年龄为 10 岁.
例2．某校艺术节表演了 30 个节目，其中歌曲类节目比舞蹈类节目的 3倍少 2个，问歌唱类节目和
舞蹈类节目各有多少个.
【详解】
解：设歌唱类节目 x个，舞蹈类节目 y个，
由题意，得
解得：
答：歌唱类节目和舞蹈类节目分别有22 个和 8个.
【注意】
和、差、倍、分间的关系
①较大量=较小量+剩余量；
②总量=各分量之和；
③总量=分量×倍数.
考点二：行程问题
例3．抗洪指挥部的一位驾驶员接到一个防洪的紧急任务，要在限定的时间内把一批抗洪物资从物
资局运到水库，这辆车如果按每小时 30 千米的速度行驶，在限定的时间内赶到水库，还差3千米，他决定
以每小时 40 千米的速度前进，结果比限定时间早到18 分钟，问限定时间是几小时？物资局仓库离水库有
多远？
【分析】
设限定时间是 x小时，物资局仓库离水库y千米，本题的等量关系为：30×限定时间=两地距离-3；40×(限
定时间 )=两地距离.
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