2.3 直线的交点坐标与距离公式(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）

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2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、直线的交点
1、直线的交点与方程的解：
求两直线 与 的交点坐标，
只需求两直线方程联立所得方程组 的解即可.
若有 ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有 ，则方程组无解，此时两直线平行；
若有 ，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。
2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量
的值．
（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
二、过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，
直线系方程中除含有 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．
由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
经过两直线 ， 交点的直线方程为
，其中 是待定系数．
在这个方程中，无论 取什么实数，都得不到 ，因此它不能表示直线 ．
三、点到点的距离
1、距离公式：平面内两点 ， 间的距离公式为：
.
【注意】公式中 和 位置没有先后之分，也可以表示为：
2、三种特殊距离：
（1）原点 到任意一点 的距离为 ；
（2）当 平行于 轴时， ；
（3）当 平行于 轴时， .
四、点到直线的距离
1、定义：点到直线的垂线段的长度.
2、距离公式：点 到直线 的距离 .
【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.
（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离；
（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点 在直线 上时，它到直线的距离为 0.
五、平行线间的距离
1、距离公式：两条平行直线 ， ，
它们之间的距离为：
【注意】在使用公式时，两直线方程中 和 的系数对应相等。
2、两平行线间的距离另外一种解法：
转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），
此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。
题型一 两直线的交点问题
【例 1】（多选）若两条直线 与 有交点，则该交点坐标就是方程组
的实数解，给出以下三种说法：
①若方程组无解，则两直线平行；
②若方程组只有一解，则两直线相交；
③若方程组有无数多解，则两直线重合．
其中说法正确的有（ ）
A．① B．② C．③ D．以上都不正确
【答案】ABC
【解析】对于①，若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，故①正确；
对于②，若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，故②正
确；
对于③，若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，
则两直线重合，故③正确. 故选：ABC
【变式 1-1】判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ．
【答案】（1）平行；（2）相交； ；（3）相交；
【解析】（1）因为 ，令 ， ，所以 ；
（2）因为 ，所以两直线相交，
联立 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
（3）因为 ，所以两直线相交，
联立 ，解得 ，所以交点坐标为 .
【变式 1-2】过两直线 的交点，且与直线 平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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