专题06一次函数中的最值问题及方案设计问题（解析版）

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专题 06 一次函数中的最值问题及方案设计问题

考点：做一件事情，有时有不同的方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动

计划，是非常必要的．解决这些问题时，先要弄清题意，根据题意构建恰当的方程模型，

求出所求未知数的取值范围，然后再结合实际问题确定最佳方案．

题型一合理决策问题

1．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，

可获利 10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利 10%；如果下月初出售可获

利25%，但要支付仓储费 8 000 元．设商场投入资金 x元，请你根据商场的资金情况，向商

场提出合理化建议，说明何时出售获利较多．

【答案】解：设如果商场本月初出售，下月初可获利 y1元，

则y1＝10%x＋(1＋10%)x·10%＝0.1x＋0.11x＝0.21x.

设如果商场下月初出售，可获利 y2元，则 y2＝25%x－8 000＝0.25x－8 000.

当y1＝y2时，0.21x＝0.25x－8 000，解得 x＝200 000.

所以若商场投入资金为 20 万元，两种出售方式获利相同；若商场投入资金少于 20 万

元，本月初出售获利较多；若商场投入资金多于 20 万元，下月初出售获利较多．

题型二选择方案问题

2．某教育行政部门计划今年暑假组织教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿

条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天 120 元，并且各自推出不同

的优惠方案．甲家是 35 人(含35 人)以内的按标准收费，超过 35 人的，超出部分按九折收

费；乙家是 45 人(含45 人)以内的按标准收费，超过 45 人的，超出部分按八折收费．如果

你是这个部门的负责人，你认为选择哪家宾馆更实惠些？

【答案】解：设总人数是 x人，甲、乙宾馆的收费分别为 y甲，y乙．

当x≤35 时，选择两家宾馆是一样的；

当35<x≤45 时，选择甲宾馆比较实惠；

当x>45 时，y甲＝35×120＋0.9×120×(x－35)，即 y甲＝108x＋420，

y乙＝45×120＋0.8×120×(x－45)＝96x＋1 080.

当y甲＝y乙时，可得 x＝55；

当y甲>y 乙时，可得 x>55；

当y甲<y 乙时，可得 x<55.

综上可得，当 x≤35 或x＝55 时，选择两家宾馆是一样的；

当35<x<55 时，选择甲宾馆比较实惠；

当x>55 时，选择乙宾馆比较实惠．

题型三最佳效益问题

3．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为 3 000 元，并且多买都有一定

的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠 30%；乙商场的优惠

条件是：每件优惠 25%.设所买商品为 x件时，甲商场收费为 y1元，乙商场收费为 y2元．

(1)分别求出 y1，y2与x之间的关系式．

(2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？

(3)当所买商品为 5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．

【答案】解：(1)当x＝1时，y1＝3 000；当 x＞1时，y1＝3 000＋3 000(x－1)×(1－

30%)＝2 100x＋900.

所以 y1＝

y2＝3 000x(1－25%)＝2 250x(x为正整数)．

(2)当甲、乙两个商场的收费相同时，2 100x＋900＝2 250x，解得 x＝6.故甲、乙两个商

场的收费相同时，所买商品为 6件．

(3)乙商场．理由：当 x＝5时，y1＝2 100x＋900＝2 100×5＋900＝11 400，y2＝2 250x

＝2 250×5＝11 250，因为 11 400＞11 250，所以当所买商品为 5件时，应选择乙商场更优

惠．

题型四给出表达式(或图象)解决实际问题

4．某游泳馆普通票价 20 元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费；

②银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元．

暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳 x次时，所需总

费用为 y元．

(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数表达式；

(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 A，B，C

的坐标；

(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．

(第4题)

【答案】解：(1)银卡：y＝10x＋150；

普通票：y＝20x.

(2)把x＝0代入 y＝10x＋150，得 y＝150.

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