专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题(原卷版)

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专题 24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题
【模型展示】
特点
等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年
都以中考压轴题的形式出现，在分析的过程中要有分类讨论的思想，再结合图形的动态变化过
程。
已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC 是等腰三角形，那么存在① AB＝AC，② BA＝BC，③ CA＝CB 三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出
来，那么就用几何法．
①如图 1，如果 AB＝AC，直接列方程；
②如图 2，如果 BA＝BC，那么 1/2 AC＝AB cos ∠A ；
③如图 3，如果 CA＝CB，那么 1/2 AB＝AC cos ∠A ．
图 1 图 2 图 3
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两
点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
结论 等腰三角形的性质并能灵活应用
【题型演练】
一、单选题
1．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 的长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于
E，F点，若点 D为BC 边的中点，点 M为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．如图，已知△ABC 是等边三角形，D是BC 边上的一个动点（异于点 B、C），过点 D作DE⊥AB，垂足
为E，DE 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G，连接 FD，FE，当点 D在BC 边上移动时，有下列三个
结论：①△DEF 一定为等腰三角形；②△CFG 一定为等边三角形；③△FDC 可能为等腰三角形．其中正
确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．如图，ABC 是边长为 2的等边三角形，AD 是BC 边上的中线，有一动点 P由点 A出发匀速向点 B运动，
到点 B后停止运动，在运动过程中，当△APD 为等腰三角形时，AP 的长为（　　）
A． 或 B．1或C． 或 D． 或 1
4．如图，在△ABC 中，AB
＝
AC，∠B＝40°，D为线段 BC 上一动点(不与点 B、点 C重合)，连接 AD，作
∠ADE＝40°，DE 交线段 AC 于点 E．以下四个结论：①∠CDE
＝
∠BAD；②当 D为BC 中点时，
DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD
＝
CE；④当△ADE 为等腰三角形时，∠EDC＝30°．其中正确的结论有
（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在正方形 ABCD 中，E、F是对角线 AC 上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且 AB＝
4，EF＝2，设 AE＝x．当 ，△PEF 是等腰三角形时，下列关于 P点个数的说法中，P点最多
有（）
A．8个B．10 个C．12 个D．14 个
6．如图，在正方形 中， ，对角线 上的有一动点 ，以 为边作正方形 ．
①在 点运动过程中， 点始终在射线 上；
②在 点运动过程中， 可能为 135°；
③若 是 的中点，连接 ，则 的最小值为 ；
④ 为等腰三角形时， 的值为 或
以上结论正确是（）
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