专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题(解析版)

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专题 24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题

【模型展示】

特点

等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年

都以中考压轴题的形式出现，在分析的过程中要有分类讨论的思想，再结合图形的动态变化过

程。

已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC 是等腰三角形，那么存在① AB＝AC，② BA＝BC，③ CA＝CB 三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出

来，那么就用几何法．

①如图 1，如果 AB＝AC，直接列方程；

②如图 2，如果 BA＝BC，那么 1/2 AC＝AB cos ∠A ；

③如图 3，如果 CA＝CB，那么 1/2 AB＝AC cos ∠A ．

图 1 图 2 图 3

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两

点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

结论等腰三角形的性质并能灵活应用

【题型演练】

一、单选题

1．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 的长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于

E，F点，若点 D为BC 边的中点，点 M为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【分析】先根据对称性判断点 M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积

求出 AD，即可求出答案．

【详解】∵EF 是AC 的垂直平分线，

∴点 A与点 C关于 EF 对称．

连接 AD，与 EF 的交点为 M，则此时点 M为使△CDM 周长最小时的位置．

∵点 D是底边 BC 上的中点，且△ABC 是等腰三角形，

∴ ．

∵ ，BC＝4，

∴ ．

∵MA＝MC，

∴△CDM 的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点 M的位置是解题的关键．

2．如图，已知△ABC 是等边三角形，D是BC 边上的一个动点（异于点 B、C），过点 D作DE⊥AB，垂足

为E，DE 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G，连接 FD，FE，当点 D在BC 边上移动时，有下列三个

结论：①△DEF 一定为等腰三角形；②△CFG 一定为等边三角形；③△FDC 可能为等腰三角形．其中正

确的有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】C

【分析】根据中垂线的性质，以及等边三角形的判定进行判断即可；

【详解】解：∵ 是的中垂线，

∴ ，

∴ 为等腰三角形，故①正确；

∵ 是等边三角形，

∴ ，

∵DE⊥AB，FG⊥DE

∴ ，

∴△CFG 为等边三角形，故②正确；

∵ ，

若△FDC 为等腰三角形，则：△FDC 为等边三角形，

∵△CFG 为等边三角形，

∴△FDC 不可能为等腰三角形，故③错误；

综上正确的个数有 2个；

故选 C．

【点睛】本题考查了中垂线的性质，等边三角形的性质和判定．解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方

法．

3．如图，ABC 是边长为 2的等边三角形，AD 是BC 边上的中线，有一动点 P由点 A出发匀速向点 B运动，

到点 B后停止运动，在运动过程中，当△APD 为等腰三角形时，AP 的长为（　　）

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