《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题6.2 等差数列及其前n项和 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第六章 数列与数学归纳法
专题 6.2 等差数列及其前 n项和（讲）
【考试要求】
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；
2.了解等差数列与一次函数.
3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；
4.会用数列的等差关系解决实际问题.
【高考预测】
（1）利用方程思想进行基本量的计算
.
（2）等差、等比数列的综合问题
.
【知识与素养】
知识点 1．等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示.用递推公式表示为
1( 2)
n n
a a d n
 
或
1( 1)
n n
a a d n
 
.
2.等差数列的通项公式：
1
( 1)
n
a a n d 
；
说明：等差数列（通常可称为
A
P
数列）的单调性：
d
0
为递增数列，
为常数列，
为递减
数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项,其中
2
a b
A
.
a
，
A
，
b
成等差数列
2
a b
A
.
4.要注意概念中的“从第 2项起”．如果一个数列不是从第 2项起，而是从第 3项或第 4项起，每一项与它
前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
【典例 1】（2021·全国高考真题（文））记 为数列 的前 n项和，已知 ，且数列
是等差数列，证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】
先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，最终
得证.
【详解】
∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【总结提升】
1．等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列;
(3)通项公式： (为常数, )⇔
 
n
a
是等差数列;
 
n
a
daa nn
1
 
n N 
 
n
a
 
n
a
21
2
nnn
aaa
 
n N 
 
n
a
n
a pn q 
,p q
n N 
(4)前 项和公式： (为常数, )⇔
 
n
a
是等差数列;
(5)
 
n
a
是等差数列⇔是等差数列.
知识点 2．等差数列的前 n项和
等差数列的前
n
和的求和公式：
1
1
( ) ( 1)
2 2
n
n
n a a n n
S na d
 
 
.
【典例 2】（2019·全国高考真题（文））记
Sn
为等差数列{
an
}的前
n
项和，已知
S
9=－
a
5．
（1）若
a
3=4，求{
an
}的通项公式；
（2）若
a
1>0，求使得
Sn
≥
an
的
n
的取值范围．
【答案】（1）
2 10
n
a n 
；
（2）
1 10( )n n N
 
.
【解析】
（1）设等差数列
 
n
a
的首项为
1
a
，公差为
d
，
根据题意有
1 1
1
9 8
9 ( 4 )
2
2 4
a d a d
a d
 
 
，
解答
18
2
a
d
 
，所以
8 ( 1) ( 2) 2 10
n
a n n  
，
所以等差数列
 
n
a
的通项公式为
2 10
n
a n 
；
（2）由条件
9 5
S a 
，得
5 5
9a a 
，即
5
0a
，
因为
1
0a
，所以
，并且有
5 1 4 0a a d 
，所以有
14a d 
，
由
n n
S a
得
1 1
( 1) ( 1)
2
n n
na d a n d
 
，整理得
2
( 9 ) (2 10)n n d n d  
，
因为
，所以有
2
9 2 10n n n 
，即
2
11 10 0n n  
，
n
2
n
S An Bn  ,A B
n N 
n
S
n
 
 
 
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