《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题9.5 抛物线 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第九章 平面解析几何
专题 9.5 抛物线（讲）
【考试要求】
1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.
2.会解决直线与抛物线的位置关系的问题.
3.了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.
4.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.
【高考预测】
高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线
的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考
查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系
数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.
【知识与素养】
知识点 1．抛物线的标准方程及几何性质
图形
标准方程 y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）
顶点 O（0，0）
范围 x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，
对称轴 x轴y轴
焦点
离心率 e=1
准线方程
y Ry R
x Rx R
, 0
2
p
F 
 
 
,0
2
p
F 
 
  0, 2
p
F 
 
  0, 2
p
F 
 
 
2
p
x 
2
p
x
2
p
y 
2
p
y
焦半径
【典例 1】（2021·全国高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上
一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
【总结提升】
1.求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定
p
的值(系数
p
是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标
准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在
x
轴上还是在
y
轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于
p
的方程，
解出
p
，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
法
一
分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在
x
轴上的抛物线，为避免开口方向不
确定可分为
y
2＝2
px
(
p
＞0)和
y
2＝－2
px
(
p
＞0)两种情况求解
法
二
设成
y
2＝
mx
(
m
≠0)，若
m
＞0，开口向右；若
m
＜0，开口向左；若
m
有两个解，则抛物线的标准方程有两
个．同理，焦点在
y
轴上的抛物线可以设成
x
2＝
my
(
m
≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述
两种情况设方程
2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方
向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
知识点 2．抛物线的定义及应用
平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛
物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线．
【典例 2】（2017·全国高考真题（理））已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的
延长线交 轴于点 ．若 为 的中点，则 ____________．
【总结提升】
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．
“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
0
| | 2
p
MF x 
0
| | 2
p
MF x 
0
| | 2
p
MF y 
0
| | 2
p
MF y 
F
l l
F F
l
知识点 3．直线和抛物线的位置关系
（1）将直线的方程 与抛物线的方程 y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于 x或y的一
元二次方程，其判别式为 Δ.
若 ，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
（2）直线与抛物线的相交弦
设直线 交抛物线 于点 两点，则
= =
同理可得[来源:Z*xx*k.Com]
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【典例 3】（2021·全国高考真题（文））已知抛物线 的焦点 F到准线的距离为 2．
（1）求 C的方程;
（2）已知 O为坐标原点，点 P在C上，点 Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
【总结提升】
y kx m 
2
2 2 0ky py pm 
0k
0k
y kx m 
2 2
2 2 1
x y
a b
 
( 0, 0)a b 
1 1 1 2 2 2
( , ) , ( , ),P x y P x y
2 2
1 2 1 2 1 2
| | ( ) ( )PP x x y y  
2 2
1 2
1 2
1 2
( ) [1 ( ) ]
y y
x x x x
2
1 2
1 | |k x x 
1 2 1 2
2
1
| | 1 | | ( 0)PP y y k
k
 
1 2
| |,x x
1 2
| |,y y
2
1 2 1 2 1 2
| | ( ) 4x x x x x x 
2
1 2 1 2 1 2
| | ( ) 4y y y y y y 
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