《高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）》专题31 指数幂及其运算(解析版)

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专题 31 指数幂及其运算
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝＝
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于 0，
0的负分数指数幂没有意义
温馨提示：(1)分数指数幂 a不可以理解为个 a相乘．
(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质
同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
(2)a－b＝(a>0，b是正无理数)．
(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
题型一 根式与分数指数幂的互化
1．若 有意义，则实数 的取值范围是（2222222）
A． B． C．D．
[解析]由负分数指数幂的意义可知， ，
所以 ，即 ，因此 的取值范围是 ．故选：C.
2．式子 的计算结果为（2222222）
A． B． C． D．
[解析] .故选：D.
3．将 表示成分数指数幂，其结果是（2222222）
A． B． C． D．
[解析] .故选：C.
4．已知 ，则 化为（2222222）
A． B． C．m D．1
[解析]，.故选：C．
5．将 化成分数指数幂为（2222222）
A． B． C． D．
[解析]．故选：B.
6．化简 (其中 ， )的结果是（2222222）
A． B． C． D．
[解析]因 ， ，所以 .故选：
C
7． 的分数指数幂表示为____________
[解析]
8．已知 ，则 ___________.
[解析]，则 ，因此， .
9．化简 ，将结果用有理指数幂的形式表示为______．
[解析]
10．用有理指数幂的形式表示下列各式（其中 ）：
（1）______；222222222222222222222222222（2）
______．
[解析]（1） ；（2）.
11．用分数指数幂形式表示下列各式（式中 ）：
（1） ；（2） ；（3） ；（4）.
[解析]（1）
（2） ；
（3） ；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
= = = = =
解法二：从外向里化为分数指数幂.
222 = = = =
=
12．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 ， 均为正数）：
(1) ；(2) ；(3) ．
[解析] (1) ；
(2) ；
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