3.3.1导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第三章 导数
3.3.1 导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（题型战法）
题型战法
一 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参
数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利
用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4、问题：对任意 ，均存在 ，使得 成立，可转化为 求参数的
取值范围。
二 对于利用导数研究零点问题的求解策略：
1、研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数
零点的可能情况；
2、函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立
不同零点之间的关系，结合零点的存在性定理，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的
方法进行研究．
三 对于利用导数证明不等式的求解策略：
1、 不含参的不等式证明过程：移项，构造新函数，求函数的最值。
2、含 n的不等式证明：观察问题形式（或由前面的问题），得出所需构造的不等式，构造新函
数，利用函数的最值证明所构造的不等式成立，从而证明原不等式成立。
题型战法
题型战法一 利用导数处理恒成立问题
典例 1．设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若对任意的 ，都有 成立，求实数 a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，根据导数与 0的关系即可得单调区间；
（2）利用分离参数思想，求出 的最小值即可得结果；
(1)
函数 的定义域为
由 ，得 ；由 ，得 ．
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)
由（1）可知 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以
∵对任意的 ，都有 成立
即对任意的 ，都有 成立
∴
∴实数 a的取值范围为
变式 1-1．已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求 ，分别讨论 不同范围下 的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调
性，结合 ，分别求出 的范围再求并集即可.
【详解】
解：（1）由已知定义域为 ，
当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 ，即 时， （舍）或 ，所以 在 上单调递减，在
上单调递增.
所以 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
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