第04讲 复数的乘、除运算 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

3.0 cande 2025-05-06 4 4 1.2MB 29 页 3知币
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第4讲 复数的乘、除运算
知识点 1 复数的乘法及其运算律
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i .
(2)复数乘法的运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1( z 2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋ z 1z3
注：对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、
虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
知识点 2 共轭复数
1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 .虚部不等于 0的两
个共轭复数也叫共轭虚数
2、表示：z的共轭复数用表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi
知识点 3 复数的除法
1、复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
注：对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数 c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数
化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
2、记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②＝－i，＝i；③＝－i.
考点一 复数代数表示式的乘法运算
解题方略：
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将 i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R);
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.　　　　
【例 1】i(2＋3i)＝(　　)
A．3－2i　 　 B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
【解析】i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.故选 D.
变式 1：若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1z2等于(　　)
A．4＋2i　　　　　　　 B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
【解析】z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.故选 A
变式 2：计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13i D．－13－2i
【解析】　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选 D.
变式 3：下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
【解析】A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选 C.
变式 4：设 ，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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