专题11 函数性质综合大题-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 11 函数性质综合大题
目录
【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数....................................................................................................1
【题型二】“分式型”2：转化为“对勾”..............................................................................................................3
【题型三】“分式型”3： 转化为“双曲”............................................................................................................5
【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型..................................................................................................7
【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型..........................................................................................................9
【题型六】“分式型”6：判别式法.........................................................................................................................11
【题型七】“分式型”7：中心对称求和型............................................................................................................12
【题型八】“分式型”8：保值函数........................................................................................................................13
【题型九】分式型结构不良型...................................................................................................................................15
【题型十】含绝对值型...............................................................................................................................................17
培优第一阶——基础过关练.......................................................................................................................................19
培优第二阶——能力提升练.......................................................................................................................................22
培优第三阶——培优拔尖练.......................................................................................................................................25
【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数
【典例分析】
已知函数 (常数 ).
(1)若 ，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2)若该函数在区间 上是严格减函数，且在 上存在自变量，使得函数值为正，求整数 的值.
【答案】(1)见解析(2) 或
【分析】（1）先对函数化简，再列表，描点，连线可得函数图像，
（2）由函数在区间 上是严格减函数，结合函数单调性的定义可得 ，再由在 上存在
自变量，使得函数值为正，可得 在 上有解，从而可求出 的范围，进而可得整数 的值.
（1）当 时， ，列表如下：
…… 0……
…… 0 3 2 ……
函数图像如下：
（2） ，任取 ，且 ，因为该函数在区间 上
是严格减函数，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 所以 ，得 ，因为在 上存在自变量，使得函数值为正，
所以 在 上有解，因为 ，所以 在 上有解，
所以 在 上有解，所以 ，
因为 在 上递增，所以当 时， 取得最小值为 ，
所以 ，综上 ，因为 ，所以 或
【提分秘籍】
基本规律
形如
型
1.通过分离常数，可以得到平移后反比例函数，在连续区间内，具有单调性，大题可用定义法证
明，小题可用分离变量为主证明。在前两种方法掌握的前提下，可以适当引入快速画图法。
2.反比例函数有对称中心，满足 (其中（a，b）是对称中心，
可通过“左加右减上加下减”求得.
3.涉及到恒成立或者解不等式等问题，大多数可以转化为一元二次型求解。
【变式训练】
已知函数 ， ．
(1)若 ，使得 ，求实数 的取值范围；
(2)若集合 ，对于 都有 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】(1)结合已知条件，将不等式转化为 ，然后利用基本不等式求解即可；
(2)首先结合 的单调性求集合 ，然后将不等式转化为 ，通过讨论 的对称轴与区间 的
位置关系，并结合 的单调性即可求解.
（1）由题意， ，使得 ，即 ，
因为 ，当且仅当 时，即 时， 有最小值 ，
所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 .
（2）因为 在 单调递减，且 ， ，
所以 在 上的值域为 ，即 ，
由题意， 都有 恒成立，即 在区间 的最大值
的对称轴为 ，且 的图像开口向上，
①当 时，即 时， 在 上单调递增，故 ；
②当 时，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，所以 ，
(i)当 时，即 时， ，
此时 在 上的最大值为 恒成立；
(ii)当 时，即 时， ，
此时 在 上的最大值为 恒成立；
③当 时，即 时， 在 上单调递减，
故 恒成立，综上所述，实数 的取值范围为 .
【题型二】“分式型”2：转化为“对勾”
【典例分析】
已知函数 ， ，
(1)当 时，求函数 的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
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