专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

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专题 10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
目录
【题型一】保和函数：f（a+b）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性........................................................................2
【题型二】类对数积函数：形如 f（axb）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性.......................................................3
【题型三】类指数函数：形如 f（a+b）=f（a）f（b）单调性.............................................................................4
【题型四】类对数商函数：形如 f（a/b）=f（a）-f（b）单调性.......................................................................5
【题型五】类线性函数：f（a-b）=f（a）-f（b）单调性与奇偶性....................................................................6
【题型六】保积函数：f（a*b）=f（a）*f（b）单调性与奇偶性........................................................................6
【题型七】恒“截距”线性函数：f（a+b）=f（a）+f（b）-1 单调性...............................................................7
【题型八】形如 f（a*b）=f（a）+f（b）+t 单调性与奇偶性..............................................................................8
【题型九】形如 f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）奇偶性.................................................................................8
【题型十】形如 f（a）+f（a）=f（ ）单调性与奇偶性.............................................................................9
【题型十一】形如 f（a）+f（a）= 单调性与奇偶性........................................................9
【题型十二】形如 f（a-b）= 单调性与奇偶性..................................................................................10
【题型十三】其他形式的抽象函数汇总...................................................................................................................11
综述
一、赋值思维：
抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：
（1）.第一层次赋值：常常令字母取 0，-1,1 等
（2）.第二层次赋值：若题中有条件 ，则再令字母取 。.
（3）.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对
应的和与积（较多）或者差与商（较少）。
二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧
证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。
1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如 f（0），f（1）等，
2.尝试适当的换元字母，构造出 x和-x，如 f（x+y），可令 y= -x，f（xy），可
令y= -1 等等
3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
三、抽象函数判断或者证明单调性的思维和技巧
证明单调性，实质就是构造定义法，在 时，构造证明出 正负。
常见的构造规律如下：
（1）构造“和”
（2）.构造“积”
（3）. 利用 构造 ,
（4）.利用奇偶性（主要是奇函数）构造 ，
这类题，变化较大，给学生讲透彻构造的目标和构造的思维以及借助构造来推
导处定义的过程，可以借助不同的抽象函数式子来灵活推导。
四、抽象函数判断或者恒成立求参或者解不等式的思维和技巧
恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立(即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值 或 恒成立.
如果涉及到多元：
①按照题意分清主次元，确定降元次序；
②考察指定元所对应的函数关系；
③由特定元的范围，建立不等式（组）.
【题型一】保和函数：f（a+b）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性
【典例分析】
若函数 对任意 ，恒有 ．
（1）指出 的奇偶性，并给予证明；
（2）如果 时， ，判断 的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数 x，恒有 ．成立，求 k的取值范围．
【提分秘籍】
基本规律
形如 f（a+b）=f（a）+f（b）
奇偶性：
（1）赋值求特殊值：令 ，得 ，解得：
（2）赋值构造奇偶性定义：令 ，则 ，
单调性：
（1）以单调性定义法证明为目标赋值：任意取 ，且 ，则 ，
（2）赋值构造单调性定义结构：
，即
【变式训练】
1.设函数 对任意的实数 ， ，都有 ，且 时， ， .
（1）求证： 是奇函数；
（2）试判断函数 单调性；
（3）试问当 时， 是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.
2.已知函数 定义域为 ，若对任意的 ，都有 ，且 时，
.
（1）判断 的奇偶性；
（2）讨论 的区间 上的单调性；
（3）设 ，若 ，对所有 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
3.定义在 R上的函数 f(x)满足： x，y∈R，f(x-y)=f(x)+f(-y)，且当 x<0 时f(x)>0，f(-2)=4.
（1）判断函数 f(x)的奇偶性并证明；
（2）若 x[-2∈，2]，a[-3∈，4]，f(x)≤-3at+5 恒成立，求实数 t的取值范围.
【题型二】类对数积函数：形如 f（axb）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性
【典例分析】
已知定义域为 的函数 满足对任意 ，都有
．
（1）求证： 是偶函数；
（2）设 时 ，
①求证： 在 上是减函数；
②求不等式 的解集．
【提分秘籍】
基本规律
形如 f（axb）=f（a）+f（b）
奇偶性：
（1）赋值求特殊值：令 a=b=1，得 f（1x1）=f（1）+f（1），解得：f（1）=0.。令 a=b=-1，
得f（-1x（-1））=f（-1）+f（-1），解得：f（-1）=0
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