专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
目录
【题型一】保和函数：f（a+b）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性........................................................................2
【题型二】类对数积函数：形如 f（axb）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性.......................................................5
【题型三】类指数函数：形如 f（a+b）=f（a）f（b）单调性.............................................................................8
【题型四】类对数商函数：形如 f（a/b）=f（a）-f（b）单调性.....................................................................10
【题型五】类线性函数：f（a-b）=f（a）-f（b）单调性与奇偶性..................................................................12
【题型六】保积函数：f（a*b）=f（a）*f（b）单调性与奇偶性......................................................................13
【题型七】恒“截距”线性函数：f（a+b）=f（a）+f（b）-1 单调性.............................................................16
【题型八】形如 f（a*b）=f（a）+f（b）+t 单调性与奇偶性............................................................................18
【题型九】形如 f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）奇偶性...............................................................................20
【题型十】形如 f（a）+f（a）=f（ ）单调性与奇偶性...........................................................................22
【题型十一】形如 f（a）+f（a）= 单调性与奇偶性......................................................26
【题型十二】形如 f（a-b）= 单调性与奇偶性..................................................................................28
【题型十三】其他形式的抽象函数汇总..................................................................................................................29
综述
一、赋值思维：
抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：
（1）.第一层次赋值：常常令字母取 0，-1,1 等
（2）.第二层次赋值：若题中有条件 ，则再令字母取 。.
（3）.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对
应的和与积（较多）或者差与商（较少）。
二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧
证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。
1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如 f（0），f（1）等，
2.尝试适当的换元字母，构造出 x和-x，如 f（x+y），可令 y= -x，f（xy），可
令y= -1 等等
3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
三、抽象函数判断或者证明单调性的思维和技巧
证明单调性，实质就是构造定义法，在 时，构造证明出 正负。
常见的构造规律如下：
（1）构造“和”
（2）.构造“积”
（3）. 利用 构造 ,
（4）.利用奇偶性（主要是奇函数）构造 ，
这类题，变化较大，给学生讲透彻构造的目标和构造的思维以及借助构造来推
导处定义的过程，可以借助不同的抽象函数式子来灵活推导。
四、抽象函数判断或者恒成立求参或者解不等式的思维和技巧
恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立(即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值 或 恒成立.
如果涉及到多元：
①按照题意分清主次元，确定降元次序；
②考察指定元所对应的函数关系；
③由特定元的范围，建立不等式（组）.
【题型一】保和函数：f（a+b）=f（a）+f（b）单调性与奇偶性
【典例分析】
若函数 对任意 ，恒有 ．
（1）指出 的奇偶性，并给予证明；
（2）如果 时， ，判断 的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数 x，恒有 ．成立，求 k的取值范围．
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2） 在 R上单调递减，证明见解析；（3）
【分析】（1）利用赋值法求出 ，根据函数奇偶性定义即可证明；
（2）根据函数单调性定义即判断函数的单调性；
（3）结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，即可得到结论
【详解】（1） 为奇函数；
证明：令 ，得 ，解得：
令 ，则 ，
所以函数 为奇函数；
（2） 在 R上单调递减；
证明：任意取 ，且 ，则 ，
又 ，即
所以 在 R上单调递减；
（3）对任意实数 x，恒有 等价于 成立
又 在 R上单调递减，
即对任意实数 x， 恒成立，
当 时，即 时， 不恒成立；
当 时，即 时，则 ，解得：
所以实数 k的取值范围为
【提分秘籍】
基本规律
形如 f（a+b）=f（a）+f（b）
奇偶性：
（1）赋值求特殊值：令 ，得 ，解得：
（2）赋值构造奇偶性定义：令 ，则 ，
单调性：
（1）以单调性定义法证明为目标赋值：任意取 ，且 ，则 ，
（2）赋值构造单调性定义结构：
，即
【变式训练】
1.设函数 对任意的实数 ， ，都有 ，且 时， ， .
（1）求证： 是奇函数；
（2）试判断函数 单调性；
（3）试问当 时， 是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）单调递增函数；（3）有，最大值 4，最小值 .
【分析】（1）令 得 ，再令 得 ，即得解；
（2）利用 证明函数单调性即可；
（3）利用函数的单调性求解函数最大值，最小值.
【详解】（1）证明：依题意令 ，得 ，即 ，
令 得 ，∴ ，
∴ 是奇函数.
（2）单调递增函数，理由如下：
任取 ，设 ，则 ，由已知可得 ，
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