专题10 【大题限时练10】-备战2022年海南高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 10 大题限时练 10
1．从①
sin sinD A
；②
3
ABC BCD
S S
 
；③
4DB DC  
              
，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，
并完成解答．
已知点
D
在
ABC
内，
cos cosA D
，
6AB
，
4AC BD 
，
，若_____，求
ABC
的面积．
【答案】见解析
【详解】解：选择条件①：
sin sinD A
，且
A
，
(0, )D
，
D A 
或
D A
 
，
当
D A
时，
cos cosD A
，由余弦定理知，
2 2 2 2 2 2
cos cos
2 2
AC AB BC BD CD BC
A D
AC AB BD CD
 
 
 
，
2 2
16 36 16 4
2 4 6 2 4 2
BC BC  
   
，解得
，无法构成
ABC
或
BCD
，不符合题意，
当
D A
 
时，
cos cosD A 
，由余弦定理知，
2 2 2 2 2 2
cos cos
2 2
AC AB BC BD CD BC
A D
AC AB BD CD
 
   
 
，
2 2
16 36 16 4
2 4 6 2 4 2
BC BC  
 
   
，解得
2 7BC
，
2 2 2
16 36 28 1
cos 2 2 4 6 2
AC AB BC
AAC AB
 
 
 
，
(0, )A
，
3
sin 2
A
，
1 3
6 4 6 3
2 2
S   
．
选择条件②：
3
ABC BCD
S S
 
，
1 1
sin 3 sin
2 2
AB AC A DB DC D  
，即
6 4 sin 3 4 2 sinA D     
，
sin sinA D 
，
A
，
(0, )D
，
D A 
或
D A
 
，
当
D A
时，
cos cosD A
，由余弦定理知，
2 2 2 2 2 2
cos cos
2 2
AC AB BC BD CD BC
A D
AC AB BD CD
 
 
 
，
2 2
16 36 16 4
2 4 6 2 4 2
BC BC  
   
，解得
，无法构成
ABC
或
BCD
，不符合题意，
当
D A
 
时，
cos cosD A 
，由余弦定理知，
2 2 2 2 2 2
cos cos
2 2
AC AB BC BD CD BC
A D
AC AB BD CD
 
   
 
，
2 2
16 36 16 4
2 4 6 2 4 2
BC BC  
 
   
，解得
2 7BC
，
2 2 2
16 36 28 1
cos 2 2 4 6 2
AC AB BC
AAC AB
 
 
 
，
(0, )A
，
3
sin 2
A
，
1 3
6 4 6 3
2 2
S   
．
选择条件③：
cosDB DC DB DC BDC  
              
，即
4 4 2 cos BDC 
，
1
cos 2
BDC  
，
在
BDC
中，由余弦定理得，
2 2 2
1
2 cos 16 4 2 4 2 ( ) 28
2
BC BD CD BD CD BDC   
，
2 7BC
，
在
ABC
中，由余弦定理知，
2 2 2
16 36 28 1
cos 2 2 4 6 2
AC AB BC
AAC AB
 
 
 
，
(0, )A
，
3
sin 2
A
，
1 3
6 4 6 3
2 2
S   
．
2．已知数列
{ }
n
a
的通项公式为
2 4
n
a n 
，数列
{ }
n
b
的首项为
1
2b
．
（Ⅰ）若
{ }
n
b
是公差为 3的等差数列，求证：
{ }
n
b
a
也是等差数列；
（Ⅱ）若
{ }
n
b
a
是公比为 2的等比数列，求数列
{ }
n
b
的前
n
项和．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
2 2
1 1 2 1 1 2
1 2
2 2
... (2 2) (2 2) ... (2 2) 2 2 2 4
2 1
n
n n
n n
S b b b n n
 
   
【详解】证明：（Ⅰ）由于数列
{ }
n
b
的首项为
1
2b
，公差为 3的等差数列，
所以
3 1
n
b n 
；
数列
{ }
n
a
的通项公式为
2 4
n
a n 
，
所以
1
6( 1) 2 (6 2) 6
n n
b b
a a n n
 
（常数），
故数列
{ }
n
b
a
也是等差数列；
解：（Ⅱ）由于数列
{ }
n
a
的通项公式为
2 4
n
a n 
，数列
{ }
n
b
的首项为
1
2b
，
{ }
n
b
a
是公比为 2的等比数列；
所以
1
2
8
b
a a 
，
故
1 2
8 2 2
n
n n
b
a
 
 
，
由于
2 4
n
a n 
，
所以
2
2 4 2
n
n
b
 
，整理得
1
2 2
n
n
b
 
；
所以
2 2
1 1 2 1 1 2
1 2
2 2
... (2 2) (2 2) ... (2 2) 2 2 2 4
2 1
n
n n
n n
S b b b n n
 
   
．
3．如图，在五面体
ABCDE
中，
AD
平面
ABC
，
/ /AD BE
，
2AD BE
，
AB BC
．
（Ⅰ）求证：平面
CDE
平面
ACD
；
（Ⅱ）若
3AB
，
2AC
，五面体
ABCDE
的体积为
2
，求直线
CE
与平面
ABED
所成角的正弦值．
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