专题09 奇偶性应用归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 9 奇偶性应用归类
目录
【题型一】奇偶性概念辨析.........................................................................................................................................2
【题型二】常见函数奇偶性判断................................................................................................................................3
【题型三】奇偶函数与图像.........................................................................................................................................5
【题型四】抽象函数奇偶性判断................................................................................................................................6
【题型五】“平移”函数奇偶性................................................................................................................................8
【题型六】利用奇偶性求解析式................................................................................................................................9
【题型七】奇偶函数混合型求解析式......................................................................................................................10
【题型八】利用奇偶性求函数值..............................................................................................................................12
【题型九】利用奇偶性求和.......................................................................................................................................13
【题型十】利用奇偶性解方程、不等式..................................................................................................................14
【题型十一】不等式恒成立求参..............................................................................................................................17
【题型十二】利用奇偶性求抽象函数恒成立参数..................................................................................................18
【题型十三】利用奇偶性求最值与范围..................................................................................................................20
【题型十四】利用奇偶性质推导周期......................................................................................................................21
培优第一阶——基础过关练.......................................................................................................................................24
培优第二阶——能力提升练.......................................................................................................................................28
培优第三阶——培优拔尖练.......................................................................................................................................33
综述：
奇偶性
(1)奇偶函数的性质
①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于 y轴对称⇔对称区间的单调性相反；
②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
③奇函数在 x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ；
(2)奇偶性的判定
①“奇±奇”是奇 ，“偶±偶”是 偶 ，“奇×/÷奇”是 偶 ，“偶×/÷偶”是 偶 ，“奇×/÷
偶”是 奇 ；
②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；
③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．
(2)常见奇函数
①f(x)＝
②f(x)＝loga
③f(x)＝g(x)－g(－x)
④f(x)＝loga(＋x)
当然，还有 f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等
；
奇偶性（对称型）与周期
周期性：①若 f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为 T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或 f(x＋a)＝－，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期均为 T＝2a.
【题型一】奇偶性概念辨析
【典例分析】
函数 为奇函数， 为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】C
【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令 ，则 ,且 ，
既不是奇函数，也不是偶函数，故 A、B错误；
令 ，则 ,且 ，
是奇函数，不是偶函数，故 C正确、D错误；
故选：C
【变式训练】
1.函数 ， ， （ ）
A．是奇函数不是偶函数 B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】D
【分析】结合函数的奇偶性确定正确答案.
【详解】当 时， ，函数 定义域不关于原点对称，所以 既不是奇函数也不是偶函数.
故选：D
2.下面四个结论中，正确的个数是（ ）
①奇函数的图象关于原点对称； ②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于 轴对称； ④偶函数的图象一定与 轴相交．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据奇偶函数图像的特点即可判断①③，举出反例即可判断②④.
【详解】解：对于①，奇函数的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，例如 为奇函数，但其图象不过原点，故②错误；
对于③，偶函数的图象关于 轴对称，故③正确；
对于④，例如 为偶函数，但其图象与 轴不相交，故④错误．
故选：B.
3.对于函数 ，“ 的图象关于 轴对称”是“ 是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】如果 是偶函数，根据偶函数的定义，可证 是偶函数，而 的图象关于 轴
对称，可举例说明 不一定为偶函数，结合充分必要的定义，即可得出结论.
【详解】函数 是偶函数，则 ，
此时， ，
因此 的图象关于 轴对称，
但当 的图象关于 轴对称时，
未必推出 是偶函数，
如 ， 的图象也关于 轴对称，
但 并非偶函数，
故“ 的图象关于 轴对称”
是“ 是偶函数”的必要不充分条件．
故选：B.
【题型二】常见函数奇偶性判断
【典例分析】
．符号 表示不超过 x的最大整数，如 ， ， ，定义函数 ，以下结论
正确的是（ ）
①函数 的定义域是 R，值域为[0,1)；
②方程 有无数个解；
③函数 是奇函数；
④函数 是增函数.
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】利用 的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断.
【详解】对于①：函数 的定义域是 ，但 ，其值域为 ，故正确；
对于②： ，可得 ，则 ， ， 都是方程的解，故正确；
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