专题08 【大题限时练8】-备战2022年海南高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 08 大题限时练 8
1．已知等差数列
{ }
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且
2
3a
，
5
25S
．
（Ⅰ）求数列
{ }
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）设
1
2
n
n n
b a
 
，求数列
的前
n
项和
n
T
．
【答案】（Ⅰ）
2 1
n
a n 
；（Ⅱ）
n
T
2
(1 2 1) 1 2 2 1
2 1 2
n
n
n
n n
T n
 
  
．
【详解】解：（Ⅰ）设等差数列
{ }
n
a
公差为
d
，首项为
1
a
，
则有
1
3 1
3
5 5( 2 ) 25
a d
a a d
 
 
，解得
1
1
2
a
d
，
所以
1
( 1) 1 2( 1) 2 1
n
a a n d n n  
，
即数列
{ }
n
a
的通项公式
2 1
n
a n 
；
（Ⅱ）
1 1
2 (2 1) 2
n n
n n
b a n
 
 
，
所以
2
(1 2 1) 1 2 2 1
2 1 2
n
n
n
n n
T n
 
 
．
2．
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
sin cos ( 3 cos cos sin )b A C a A B C 
．
（Ⅰ）求
A
；
（Ⅱ）若
ABC
的外接圆半径为 2，且
2
a
b c 
，求
ABC
的面积．
【答案】（Ⅰ）
3
A
；（Ⅱ）
1 1 3 9 3
sin 9
2 2 2 4
S bc A  
【详解】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得
sin sin cos sin ( 3 cos cos sin )B A C A A B C 
，
又
(0, )A
，
sin 0A 
，
sin cos 3 cos sin cosB C A C B 
，
sin cos cos sin 3 cosB C B C A 
，
sin( ) 3 cosB C A 
，即
sin 3 cosA A
，
tan 3A
，
又
(0, )A
，
3
A
．
（Ⅱ）
ABC
的外接圆半径
2R
，
2 sin 4sin 2 3
3
a R A
 
，
3
2
a
b c 
，
由余弦定理得
2 2 2 2 2 2
2 cos ( )a b c bc A b c bc b c bc  
，即
12 3 bc 
，
则
9bc
，
ABC
的面积
1 1 3 9 3
sin 9
2 2 2 4
S bc A  
．
3．如图，在五面体
ABCDEF
中，底面四边形
ABCD
为正方形，面
ABFE
面
CDEF EF
，
AD ED
，
CD EA
．
（Ⅰ）求证：
/ /AB EF
；
（Ⅱ）若
1EF ED 
，
3CD
，求平面
ADE
与平面
BCF
所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
5
5
【详解】（Ⅰ）证明：在正方形
ABCD
中，
/ /AB CD
，
CD
平面
CDEF
，
AB
平面
CDEF
，
/ /AB
平面
CDEF
，又
AB
平面
ABEF
，且平面
ABEF
平面
CDEF EF
，
/ /AB EF
；
（Ⅱ）解：
四边形
ABCD
为正方形，
CD AD 
，
CD AE
，
AD AE A
，
CD 
平面
ADE
，则
CD DE
．
又
AD DE
，
以
D
为坐标原点，分别以
DA
、
DC
、
DE
所在直线为
x
、
y
、
z
轴
建立空间直角坐标系．
由已知得，
(3B
，3，
0)
，
，3，
0)
，
(0F
，1，
1)
，
可知
(0,1,0)m
为平面
ADE
的一个法向量；
设平面
BCF
的一个法向量为
( , , )n x y z
，
由
3 0
2 0
n BC x
n FC y z
 
 

，取
1y
，得
(0,1,2)n
．
设平面
ADE
与平面
BCF
所成的锐二面角为
，
则
| | 1 5
cos | cos , | | | | | 5
5
m n
m n m n
 
 
 
 
．
平面
ADE
与平面
BCF
所成的锐二面角的余弦值是
5
5
．
4．2020 年10 月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意
见》，某地积极开展中小学健康促进行动，决定在 2021 年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参
加游泳、长跑、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分 20 分，某校在初三上学期开始要掌握全年级学
生一分钟跳绳情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到如图所示频率分布直方图，且规定计分规则如
表：
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