专题05 【大题限时练5】-备战2022年海南高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 05 大题限时练 5
1．在①
15
2
AB AC 
              
；②
3 sin cos a c
C C b
 
；③面积
7 3
3
S
这三个条件中任选一个，补充在下面的
问题中，并回答问题．
问题：在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
A
为锐角，
，
4 3 sinb B
，且___
_，求
ABC
的周长．
【答案】见解析
【详解】解：因为
4 3
sin sin
a b
A B
 
，代入
，得
3
sin 2
A
，
又
A
为锐角，
故
3
A
，
若选①，
15
cos 2
AB AC bc A 
              
，
由
1
cos 2
A
，得
15bc
．
又
2 2 2 2 cosa b c bc A  
，即
2 2 36b c bc 
，
可得
2
( ) 3 36b c bc 
，得
9b c 
．
所以
ABC
周长为
15abc  
．
若选②，
sin sin
3 sin cos sin
a c A C
C C b B
 
 
，即
3 sin sin cos sin sin( ) sinC B C B B C C  
．
化简得
3 sin cos 1B B 
，即
2sin( ) 1
6
B
 
，解得
 
5
6 6 6
B
 
或 舍
．
故
3
B
，此时
ABC
为等边三角形，周长为
3 18a
，
若选③，
1 7 3
sin
2 3
S bc A 
，得
28
3
bc
．
又
2 2 2 2 cosa b c bc A  
，即
2 2 36b c bc 
，
可得
2
( ) 3 36b c bc 
，得
8b c 
．
所以
ABC
周长为
14abc  
．
2．已知数列
{ }
n
a
满足
1
1 2 3
2 3 ( 1)2 2
n
n
a a a na n
 
．
（Ⅰ）求数列
{ }
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
2 2 2
1
log log
n n
a a
 
 
 
的前
n
项和
n
T
．
【答案】见解析
【详解】解：（Ⅰ）由题意：
1
1 2 3
2 3 ( 1)2 2
n
n
a a a na n
 
，①
当
2n�
时，
1 2 3 1
2 3 ( 1) ( 2)2 2
n
n
a a a n a n
 
，②
①
②得
1
( 1)2 ( 2)2
n n
n
na n n
 
，即
2
n
n
a
，
当
1n
时，
12a
满足上式，所以
2
n
n
a
．
（Ⅱ）因为
2 2
log log 2
n
n
a n 
，
所以
2 2 2
1 1 1 1 1
( )
log log ( 2) 2 2
n n
a a n n n n
 
 
，
所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3
(1 ... ) (1 )
2 3 2 4 3 5 1 1 2 2 2 1 2 4 2( 1)( 2)
n
n
Tn n n n n n n n
     
 
．
3．如图，在长方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
1
2AB AD AA 
，点
E
，
F
分别是棱
AB
，
BC
的中点．
（Ⅰ）证明：
1
/ /C F
平面
1 1
B D E
；
（Ⅱ）求平面
1 1
B D E
与平面
1 1
C D F
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
6
3
【详解】（Ⅰ）证明：如图，取棱
AD
的中点
G
，连接
1
GD
，
GE
，
GF
，
BD
．
因为
G
，
E
分别是
AD
，
AB
的中点，所以
1 1
/ / / /GE BD B D
，
所以
G
，
E
，
1
B
，
1
D
四点共面．
因为
G
，
F
分别是
AD
，
BC
的中点，所以
1 1
/ / / /GF CD C D
，且
1 1
GF CD C D 
，
所以四边形
1 1
GFC D
是平行四边形，所以
1 1
/ /C F GD
，
因为
1
C F
平面
1 1
B D E
，
1
GD
平面
1 1
B D E
，
所以
1
/ /C F
平面
1 1
B D E
．
（Ⅱ）如图所示，以
D
为坐标原点，分别以
DA
，
DC
，
1
DD
所在直线为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角坐标系．
设
1
1AA
，
1(2B
，2，
1)
，
1
(0D
，0，
1)
，
1
(0C
，2，
1)
，
(2E
，1，
0)
，
(1F
，2，
0)
，
所以
1 1
(2, 2,0)D B

，
1
(2,1, 1)D E  

，
设平面
1 1
B D E
的法向量为
( , , )n x y z
，
则
1 1
1
2 2 0
2 0
D B n x y
D E n x y z
 
   
，令
1x
，则
(1, 1,1)n 
．
同理可得平面
1 1
C D F
的一个法向量为
(1,0,1)m
．
所以
2 6
cos , | || | 3
3 2
m n
m n m n
 
 
 
 
，
因此，平面
1 1
B D E
与平面
1 1
C D F
所成锐二面角的余弦值为
6
3
．
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