专题01 集合题型归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 01 集合题型归类
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 集合与元素.......................................................................................................................................1
【题型二】 集合中的元素个数..........................................................................................................................3
【题型三】 集合中元素个数求参......................................................................................................................4
【题型四】 子集及子集个数..............................................................................................................................6
【题型五】 子集关系求参(难点）.....................................................................................................................8
【题型六】 子集综合应用...................................................................................................................................9
【题型七】 集合交集运算及求参.....................................................................................................................11
【题型八】 集合并集运算及求参....................................................................................................................13
【题型九】 集合补集运算及求参....................................................................................................................15
【题型十】 韦恩图.............................................................................................................................................17
【题型十一】集合与新定义..............................................................................................................................19
【题型十二】集合综合.......................................................................................................................................21
二、分阶培优练...........................................................................................................................................................23
【题型一】集合与元素
【典例分析】
非空集合 具有下列性质：①若 、 ，则 ；②若 、 ，则 ，下列判断一定成立的
是（）
（1） ；（2） ；（3）若 、 ，则 ；（4）若 、 ，则 .
A．（1）（3）B．（1）（2）
C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】
假设 ，可推出 ，由此可判断（1）的正误；推导出 ，进而可推导出 ， ，由此
可判断（2）的正误；推导出 ，结合①可判断（3）的正误；若 、 ，假设 ，推出 ，
可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】
由①可知 .
对于（1），若 ，对任意的 ， ，则 ，
所以， ，这与 矛盾，（1）正确；
对于（2），若 且 ，则 ， ， ，
依此类推可得知， ， ， ， ， ，（2）正确；
对于（3），若 、 ，则 且 ，由（2）可知， ，则 ，
所以， ，（3）正确；
对于（4），由（2）得， ，取 ，则 ，所以（4）错误.
故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
【变式演练】
1.给出下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其
中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
①空集中不含任何元素，由此可判断①；
② 是整数，故可判断②正确；
③通过解方程 ，可得出 ，故可判断③；
④根据 为正整数集可判断④；
⑤通过解方程 ，得 ，从而可判断⑤.
【详解】
① ，故①错误；
② 是整数，所以 ，故②正确；
③由 ，得 或 ，所以 ，所以 正确；
④ 为正整数集，所以 错误；
⑤由 ，得 ，所以 ，所以 错误.
所以正确的个数有 2个.
故选：B.
2下面五个式子中：① ；② ；③{a} {a，b}；④ ；⑤ a {b，c，a}；正确的有
（）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
中， 是集合{a}中的一个元素， ，所以 错误；
空集是任一集合的子集，所以 正确；
是 的子集，所以 错误；
任何集合是其本身的子集，所以 正确；
a是 的元素，所以 正确.
故选：A.
3.已知集合 ，下列选项中均为 A的元素的是（）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断．
集合 有两个元素： 和 ，
故选：B
【题型二】集合中的元素个数
【典例分析】
已知集合 A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，则集合 B中的元素的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
通过集合 ，利用 ， ， ，求出集合 中元素的个数．
【详解】
解：因为集合 ，2，3， ， ， ， ，
所以当 时， 或 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， ，
即
所以集合 中的元素个数为 6．
故选： ．
【提分秘籍】
基本规律
集合中元素个数：
1.点集多是图像交点
2.数集，多涉及到一元二次方程的根。3
【变式演练】
1.已知 与 是集合 的两个子集，满足： 与 的元素个数相同，且 为空集，若
时总有 ，则集合 的元素个数最多为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
令 ，解得 ，从 中去掉形如 的数，此时 中有 个元素，注意 中还可含以下
个特殊元素： 、 、 、 、 、 、 ，故 中元素最多时， 中共有 个元素，由此可得出结
论.
【详解】
令 ，解得 ，所以，集合 是集合 的一个非空子集.
再由 ，先从 中去掉形如 的数，由 ，可得 ， ，此时，
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