数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷A（新高考II卷专用）（答案及评分标准）

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2022-2023 学年高三下学期开学摸底考试卷
数学·答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
12345678
B C B A B C C D
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．ACD 10．ABC 11．ABC 12．ABD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13． （或 ） 14．
15． 16．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）先求出 ，再证明 即得证；
（2）求出 ，再利用分组求和与错位相减法求和得解.
【详解】（1）.（1分）
所以
所以 .（3分）
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列. （5分）
（2）由（1）得 .
所以 .（7分）
设 前 项和为 ， 前 项和为 ，
所以
，
，
两式错位相减得 ，
所以 ，
所以 .（9分）
所以 . （10 分）
18．（12 分）
(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简即可；
（2）由 得 ，因为
，两方程联立结合均值不等式即可得出答案.
【详解】（1）由 ，
得 （2分）
即 ，
从而 ，（4分）
由 ，得 .（5分）
（2）由 得 ，
从而 ，即 （7分）
又因为 ，得
所以 ，即 ，
从而 ，（9分）
而 ，故 （10 分）
解得 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .（12 分）
19．（12 分）
(1) (2)列联表见解析，没有 99.9%的把握认为优质棉与 A，B两个试验区有关系；(3)X
的分布列见解析，
【分析】（1）利用频率和为 1列出关于 a的方程，解之即可求得 a的值；
（2）先求得抽取的优质棉样本数为 30，进而求得非优质棉样本数为 90，进而补全表格；
求得 的值并与 进行大小比较即可得到是否有 99.9%的把握认为优质棉与 A，B两
个试验区有关系.
（3）先求得 X的各可能取值的概率，进而得到 X的分布列；依据数学期望的定义即可求得
.
【详解】（1）由 ，解得 （2分）
（2）抽取的优质棉样本数为 则非优质棉样本数为 90，
则2×2 列联表如下：
A试验区 B试验区 合计
优质棉 10 20 30
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