第五章 函数应用 章末测试试卷（解析版）-【新教材精析】2022-2023学年高一数学上学期同步教学精品课件+综合训练(北师大版2019必修第一册)

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第五章 函数应用 章末测试卷
（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．函数
f(x)=log1
3
x+3− x
的零点个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】可构造新函数
ℎ
(
x
)
=log1
3
x
，
g
(
x
)
=x − 3
，结合函数图像即可求解
【详解】由
f(x)=log1
3
x+3− x=0⇒log1
3
x=x − 3
，令
ℎ
(
x
)
=log1
3
x
，
g
(
x
)
=x − 3
，画出函数图像，如图：
两函数图像只有一个交点，故
f(x)=log1
3
x+3− x
的零点个数只有一个
故选：B
【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想的应用，属于基础题
2．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度 h与其采摘后时间 t
（天）满足的函数关系式为
．若采摘后 10 天，这种水果失去的新鲜度为 10%，采摘后 20 天，这
种水果失去的新鲜度为 20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去 40%新鲜度（）
A．25 天B．30 天C．35 天D．40 天
【答案】B
【分析】根据给定条件求出
m
及
a10
的值，再利用给定公式计算失去 40%新鲜度对应的时间作答.
【详解】依题意，
¿
，解得
m=1
20 ,a10=2
，当
ℎ=40 %
时，
40 %=1
20 ⋅at
，
即
40 %=1
20 ⋅a10 ⋅at − 10
，解得
at −10=4=(a10)2=a20
，于是得
t − 10=20
，解得
t=30
，
所以采摘下来的这种水果 30 天后失去 40%新鲜度.
故选：B
3．用二分法研究函数
f
(
x
)
=x5+8x3−1
的零点时，第一次经过计算得
f
(
0
)
<0
，
f
(
0.5
)
>0
，则其中一个零
点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）
A．
(
0,0.5
)
，
f
(
0.125
)
B．
(
0,0.5
)
，
f
(
0.375
)
C．
(
0.5,1
)
，
f
(
0.75
)
D．
(
0,0.5
)
，
f
(
0.25
)
【答案】D
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点
x0∈
(
0 , 0.5
)
，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为
f(0)f(0.5)<0
，
由零点存在性知：零点
x0∈
(
0 , 0.5
)
，
根据二分法，第二次应计算
f
(
0+0.5
2
)
，即
f
(
0.25
)
，
故选：D.
4．已知函数
f(x)=¿
，若函数
g(x)=f(x)−m
恰有两个零点，则实数 m不可能是（）
A．
−1
B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】依题意画出函数图象，函数
g(x)=f(x)−m
的零点，转化为函数
y=f(x)
与函数
y=m
的交点，数
形结合即可求出参数
m
的取值范围；
【详解】解：因为
f(x)=¿
，画出函数图象如下所示，
函数
g(x)=f(x)−m
的有两个零点，即方程
g(x)=f(x)−m=0
有两个实数根，即
f(x)=m
，即函数
y=f(x)
与函数
y=m
有两个交点，由函数图象可得
m ≤0
或
m=1
，
故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合
函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
5．下列命题中：
①当
n=0
时，函数
y=xn
的图象是一条直线；
②函数
y=x2
和
y=eln x2
为同一函数；
③若函数
y=f(x)
是奇函数，则
f
(
0
)
=0
；
④函数
y=f(x)
在区间
[
a , b
]
上的图象是一段连续曲线，如果
f
(
a
)
⋅f
(
b
)
>0
，则函数
f(x)
在
(
a , b
)
上没有零点.
真命题的个数为（）
A．0个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义域判断①，根据同一函数的定义判断②，根据奇函数的定义判断③，根据零点
存在性定理判断④.
【详解】解：对于①当
n=0
时，函数
y=xn
的定义域为
{
x
|
x ≠ 0
}
，其图象是一条直线去除点
(
0,1
)
，故错误；
对于②，函数
y=x2
的定义域为
R
，
y=eln x2
的定义域为
{
x
|
x ≠ 0
}
，不为同一函数，故错误；
对于③，若函数
y=f(x)
是奇函数，且在
x=0
处有意义，则
f
(
0
)
=0
，故错误；
对于④，函数
y=f(x)
在区间
[
a , b
]
上的图象是一段连续曲线，如果
f
(
a
)
⋅f
(
b
)
>0
，则函数
f(x)
在
(
a , b
)
上可
能有零点，故错误.
所以正确的命题个数为 0.
故选：A
6．已知定义在
[
0，+∞
)
上的函数
f
(
x
)
满足当
x∈
[
0,2
]
时，
f
(
x
)
=¿
，当
x>2
时，满足
f
(
x
)
=mf
(
x − 2
)
，
m∈R
（
m
为常数），则下列叙述中正确的为（）
①当
m=1
2
时，
f
(
3
)
=1
；
②当
0＜m＜1
时，函数
f
(
x
)
的图象与直线
y=2mn−1
，
n∈N∗
在
[
0,2 n
]
上的交点个数为
2n −1
；
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