第六章立体几何初步 单元测试卷-2021-2022学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

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2021-2022 学年 必修 2 第六章立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题 4分，共 8各小题，共计 32 分)
1.已知点 都在球 的球面上， ， 是边长为 1的等边三角形， 与平面
所成角的正弦值为 ，若 ，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
2.如果一个长方体的长、宽、高分别是 6，5，3，则它的体积为（ ）
A.15 B.18 C.30 D.90
3.在体积为 的直三棱柱 中， 为等边三角形，且 的外接圆半径为
，则该三棱柱外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.在空间四边形 ABCD 中，若 ， ，则有( )
A.平面 平面 ADC B.平面 平面 ADB
C.平面 平面 DBC D.平面 平面 DBC
5.已知 m，n为异面直线， 平面 ， 平面 ，直线 l满足 ， ， ， ，
则( )
A. 且B. 且
C. 与 相交，且交线与 l垂直 D. 与 相交，且交线与 l平行
6.在长方体 中，P为BD 上任意一点，则一定有( )
A. 与 异面 B. 与 垂直
C. 与平面 相交 D. 与平面 平行
7.给出下列说法：
①若直线 l平行于平面 内的无数条直线，则 ；
②若直线 a在平面 外，则 ；
③若直线 ，直线 平面 ，则 ；
④若直线 ，直线 平面 ，则直线 a平行于平面 内的无数条直线.
其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.在底面为正三角形的三棱柱 中， ， ，该三棱柱的体积的最大值为( )
A.3 B. C.6 D.
二、多项选择题(每题 4分，共 2各小题，共计 8分)
9.已知 ， 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.如果 ， ， ，那么
B.如果 ， ，那么
C.如果 ， ， ，那么
D.如果 ， ， ，那么
10.长方体 的长、宽、高分别为 3，2，1，则( )
A.长方体的表面积为 20
B.长方体的体积为 6
C.沿长方体的表面从 A到 的最短距离为
D.沿长方体的表面从 A到 的最短距离为
三、填空题(每题 4分，共 5各小题，共计 20 分)
11.如图，三棱锥 的所有顶点都在球 O的表面上，平面 平面 BCD，
， ， ，则球 O的表面积为_______________.
12.如图，平面 平面 ABD， ， ， 是正三角形，O为AB 的中点，
则图中直角三角形的个数为_____________.
13.已知 a和b是异面直线，且 平面 ， 平面 ， ， ，则平面 与 的位置
关系是_____________.
14.过球 O表面上一点 A引三条长度相等的弦 AB，AC，AD，且 AB，AC，AD 两两夹角都为 ，
若 ，则该球的体积为______.
15.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知
长方体的长、宽、高分别为 20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为 8 m，若按 1:500 的比例画出它的直
观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为____________.
四、解答题(每题 10 分，共 4各小题，共计 40 分)
16.如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是菱形， ， .
（1）证明： 为直角三角形；
（2）若 ，E是PC 的中点，且二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的体
积.
17.如图所示，平面 平面 ABC，平面 平面 ABC， 平面 PBC，E为垂足.
（1）求证： 平面 ABC；
（2）当 E为 的垂心时，求证： 是直角三角形.
18.如图所示，已知 ABCD 为梯形， ， ，M为线段 PC 上一点.
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