第13讲 余弦定理、正弦定理的应用举例 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）

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第13 讲 余弦定理、正弦定理的应用举例
知识点 1 实际问题中的常用角
1、(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线
在水平视线下方时叫俯角，如图所示.
(2)方位角
从 某 点 的 指北 方 向 线 起 按 顺 时针 方 向 到 目 标方 向 线 之 间 的 夹 角叫 做 方 位 角 ． 方 位角 θ的 范 围 是
0° ≤ θ <360° ， 如B点的方位角为 α(如图 1所示).
　
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点 O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类
推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图 2所示).
(4)坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即 i＝＝tan
θ
知识点 2 常见距离问题
类型 图形 方法 具体
两点间不可通又不可视 余弦定理
可取某点 C，使得
点A，B和C之间的
距离可直接测量，
测出 AC＝b，BC＝
a，以及∠ACB ＝
γ，利用余弦定理
得，AB＝.
两点间可视不可到达的距离 正弦定理
可选取与点 B同侧
的点 C，测出 BC＝
a以 及 ∠ABC 和
∠ACB ，先使用内
角和定理求出
∠BAC ，再利用正
弦定理求出 AB.
两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，
再用余弦定理
可先在此岸一侧选
取两点 C，D，测出
CD ＝
m，∠ACB，∠BC
D，∠ADC，∠AD
B， 再 在 △BCD 中
求出 BC，在△ADC
中求出 AC，最后在
△ABC 中， 由余弦
定理求出 AB.
知识点 3 常见高度问题
类型 简图 计算方法
底部可达 测得 BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得 CD＝a及C与∠ADB 的度数.
先由正弦定理求出 AC 或AD，再解三角形得
AB 的值.
点B与C，D不共
线
测得 CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB 的度
数.
在△BCD 中由正弦定理求得 BC，再解三角形
得AB 的值.
知识点 4 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形
的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
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