第11讲 余弦定理 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第11 讲 余弦定理
知识点 1 余弦定理
余弦定理的公式表达及语言叙述
余
弦
定
理
公式表达
a2＝b 2
＋ c 2
－ 2 bc cos A ，
b2＝a 2
＋ c 2
－ 2 ac cos B ，
c2＝a 2
＋ b 2
－ 2 ab cos C
语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和
减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
知识点 2 余弦定理解读
1．用向量的方法证明余弦定理：在 中， ．
证明：∵ ＝ ＋ ，
∴( )2＝(＋)2＝( )2＋( )2＋2 · ，即| |2＝| |2＋| |2＋2| || |cos(180°－A)，
∴.
2．余弦定理与勾股定理的关系
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
3．余弦定理的特点
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的
量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
4．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．
(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
5. 在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角 .
6. 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如 a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形
式对条件进行化简变形.
知识点 3 解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C和它们的对边 a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元
素求其他元素的过程叫做解三角形. .
考点一 已知两边及一角解三角形
解题方略：
必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦
定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
（一）已知两边及其夹角
若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其
它角．　
【例 1】在△ABC 中，已知 b＝3，c＝2，A＝30°，求 a.
【解析】由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2)2－2×3×2cos30°＝3，所以 a＝.
变式 1：在△ABC 中，已知 a＝9，b＝2，C＝150°，则 c等于(　　 )
A. B．8 C．10 D．7
【解析】由余弦定理得：c＝＝＝7.故选 D.
变式 2：在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b等于(　　)
A．4 B. C．7 D．5
【解析】b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，
∴b＝7.
变式 3：在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则 c＝(　　)
A．4　　B. C．3 D.
【解析】cos C＝－cos(A＋B)＝－.又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以 c
＝.故选 D.
变式 4：在△ABC 中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
【解析】根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，
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