第10练 平面向量的应用 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）

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第10 练 平面向量的应用
一．选择题
1．河水的流速为 2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以 10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（
）
A．10 m/sB．2
❑
√
26
m/sC．4
❑
√
6
m/sD．12 m/s
2．一物体受到相互垂直的两个力 F1、F2的作用，两力大小都为
5❑
√
3N
，则两个力的合力的大小为（
　）
A．
10❑
√
3N
B．0NC．
5❑
√
6N
D．
5❑
√
6
2N
3．已知 D是△ABC 内部（不含边界）一点，若 S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，
AD
→
=¿
x
y
AC
→
，则
x+y＝（　　）
A．
2
3
B．
3
4
C．
7
12
D．1
4．已知 P是△ABC 所在平面内的一动点，且
AP
→
=λ(AB
→
+1
2BC
→
)(λ ≥ 0)
，则点 P的轨迹一定通过△ABC
的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．已知 O为三角形 ABC 所在平面内一点，
OA
→+OB
→+OC
→=0
→
，则 S△OBC：S△ABC＝（　　）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
5
6．平面内△ABC 及一点 O满足
AO
→
⋅AB
→
¿AB
→
∨¿=AO
→
⋅AC
→
¿AC
→
∨¿，CO
→
⋅CA
→
¿CA
→
∨¿=CO
→
⋅CB
→
¿CB
→
∨¿¿
¿
¿
¿
，则点 O是△ABC 的（
）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
7．在△ABC 内使 AP2+BP2+CP2的值最小的点 P是△ABC 的（　　）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
8．如图，扇形的半径为 2，圆心角∠BAC＝150°，点 P在弧
^
BC
上运动，
AP
→
=x AB
→
+y AC
→
，则
❑
√
3
x﹣y的
取值范围是（　　）
A．
[−❑
√
3，2]
B．[ 1﹣，2] C．[ 2﹣，4] D．
[−2❑
√
3，4]
9．已知向量
a
→
，
b
→
满足|
a
→
|
¿❑
√
3
，|
b
→
|＝1，且对任意实数 x，不等式|
a
→
+¿
x
b
→
|≥|
a
→
+b
→
|恒成立，设
a
→
与
b
→
的夹角为
θ，则 tan2θ＝（　　）
A．
❑
√
2
B．
−❑
√
2
C．﹣2
❑
√
2
D．2
❑
√
2
10．若
a
→
，
b
→
，
c
→
均为单位向量，且
a
→
•
b
→
=−1
2
，
c
→=¿
x
a
→+¿
y
b
→
（x，y∈R），则 x+y的最大值是（　　）
A．2 B．
❑
√
3
C．
❑
√
2
D．1
11 ．已知向量
O P1，
→
O P
→
2，O P
→
3
满 足
O P
→
1+O P
→
2+OP ❑
→
3=0
→
，
¿O P
→
1∨¿∨O P2∨
→¿∨O P3∨
→¿1
． 则
△P1P2P3的形状为（　　）
A．正三角形 B．钝角三角形
C．非等边的等腰三角形 D．直角三角形
12．已知 O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且
OA
→
⋅OB
→
=0
，则
¿AC
→
+BD
→
∨¿
的最大值为（　　）
A．
2❑
√
2
B．
2+❑
√
2
C．
1+❑
√
2
D．4
13．已知平面上的两个单位向量
a
→
，
b
→
满足
a
→
⋅
b
→=4
5
，若 m∈R，则|
a
→+¿
m
b
→
|的最小值为（　　）
A．
5
2
B．
2
5
C．
5
3
D．
3
5
14 ．已知点 G是△ ABC 的重心，
AG
→
=λ AB+μ AC
→
（λ，μ∈R），若∠A＝120° ，
AB⋅AC
→
=−2
，则
¿AG
→∨¿
的最小值是（　　）
A．
❑
√
3
3
B．
❑
√
2
2
C．
2
3
D．
3
4
15．在△ABC 中，
AB
→
•
AC
→
=¿
7，|
AB
→
− AC
→
|＝6，则△ABC 面积的最大值为（　　）
A．24 B．16 C．12 D．8
二．填空题
16．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是 F1，F2，且
F1，F2与水平夹角均为 45°，
¿F1∨
→¿∨F
→
2∨¿10 ❑
√
2N
，则物体的重力大小为　 　．
17．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是
F
→
1
，
F
→
2
，且
F
→
1
，
F
→
2
与水平夹角均为 45°，|
F
→
1
|＝|
F
→
2
|＝4
❑
√
2
N，则物体的重力大小为 　 　N．
18．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距 5
❑
√
3
海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航
行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西 30°方向上，另一灯塔在南偏西 60°方向上，则该船的速度是
海里/小时．
19．河水从东向西流，流速为 2km/h，一艘船以 2
❑
√
3
km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度
的大小是　 　km/h．
20．设 O为△ABC 内一点，且满足关系式
OA
→+¿
2
OB
→+¿
3
OC
→=¿
3
AB
→+¿
2
BC
→+CA
→
，则 S△AOB ：S△BOC ：
S△COA＝　 　．
21．△ABC 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为 a，b，c，重心为 G，若 2a
GA
→
+❑
√
3
b
GB
→
+¿
3c
GC
→
=0
→
，则
cosB＝　 　．
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