第10练 平面向量的应用 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第10 练 平面向量的应用
一．选择题
1．河水的流速为 2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以 10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（
）
A．10 m/sB．2
❑
√
26
m/sC．4
❑
√
6
m/sD．12 m/s
【解析】根据题意，设河水的流速为 V1，则|V1|＝2m/s，小船的静水速度为 V2，合速度为 V，|V|＝10，
且V⊥V1，
有V＝V1+V2，则 V2＝V﹣V1，
则有|V2|
¿❑
√
V2−2V⋅V1+V1
2=❑
√
4+100=¿
2
❑
√
26
，
故选：B．
2．一物体受到相互垂直的两个力 F1、F2的作用，两力大小都为
5❑
√
3N
，则两个力的合力的大小为（
　）
A．
10❑
√
3N
B．0NC．
5❑
√
6N
D．
【解析】根据平行四边形定则，两个合力的大小为：
F
¿❑
√
F1
2+F2
2=❑
√
¿¿
5
❑
√
6
N，
故选：C．
3．已知 D是△ABC 内部（不含边界）一点，若 S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，
AD
→
=¿
x
AB
→
+¿
y
AC
→
，则
x+y＝（　　）
A．
2
3
B．
3
4
C．
7
12
D．1
【解析】根据题意，如图：设 AD 与BC 交于点 E，设 BE＝xBC，则有
BE
→=¿
x
BC
→
，
若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，则有 S△BCD：S△ABC
¿4
5+4+3=1
3
，
则DE
¿1
3
AE，则有 AD
¿2
3
AE，即
AD
→
=2
3AE
→
，
故S△ABD
¿2
3
S△ABE
¿2x
3
S△ABC，
又由 S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，即 S△ABD：S△ABC＝5：（5+4+3）＝5：12，
则有
2x
3=5
12
，解可得 x
¿5
8
，即
BE
→
=5
8BC
→
，
故
AD
→
=2
3AE
→
=2
3
（
AB
→
+BE
→
）
¿2
3AB
→
+2
3×5
8BC
→
=2
3AB
→
+5
12 BC
→
=2
3AB
→
+5
12
（
AC
→
−AB
→
）
¿3
12 AB
→
+5
12 AC
→
，
又由
AD
→
=¿
x
AB
→
+¿
y
AC
→
，则 x
¿3
12
，y
¿5
12
，故 x+y
¿3
12 +5
12 =2
3
，
故选：A．
4．已知 P是△ABC 所在平面内的一动点，且
AP
→
=λ(AB
→
+1
2BC
→
)(λ ≥ 0)
，则点 P的轨迹一定通过△ABC
的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解析】根据题意，如图，设 BC 的中点为 D，
则
BD
→
=1
2BC
→
，则
AP
→
=¿
λ（
AB
→
+1
2BC
→
）＝λ（
AB
→
+BD
→
）＝λ
AD
→
，
即点 P在BC 边的中线 AD 上，
则点 P的轨迹一定通过△ABC 的重心，
故选：C．
5．已知 O为三角形 ABC 所在平面内一点，
OA
→
+OB
→
+OC
→
=0
→
，则 S△OBC：S△ABC＝（　　）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
5
【解析】根据题意，O为三角形 ABC 所在平面内一点，
若
OA
→
+OB
→
+OC
→
=0
→
，则 O是△ABC 的重心，如图：
设直线 AO 与BC 交于点 D，则有|AD|＝3|OD|，
设O到BC 的距离为 d，则 A到BC 的距离为 3d，
故S△OBC：S△ABC
¿1
2×
d×|BC|：
1
2×
3d×|BC|＝1：3；
故选：B．
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