第09讲 平面向量数量积的坐标表示 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）

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第9讲 平面向量数量积的坐标表示
知识点 1 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量
1 1
( , )a x y
， ， ，其含义是：两个向量的数量积等
于它们对应坐标的乘积的和.
注：(1)两向量 a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，
也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为 0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
(2)公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与 a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是
书写形式上的差异，两者可以相互推导．
知识点 2 向量垂直与向量平行的坐标表示
向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点
非零向量
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0对应相乘相加和为 0
平行 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0交叉相乘相减差为 0
知识点 3 平面向量的模的坐标表示
(1)平面向量的模的坐标公式
设 ，则 或 ，其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术
平方根．
(2)平面内两点间的距离公式
如 果 表 示 向 量 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为
(x1, y1)
、
(x2, y2)
， 那 么
，其含义是：向量 的模等于 A，B两点之间的距离．
知识点 4 平面向量夹角的坐标表示
已知非零向量 ， 是 与 的夹角，则 ．
知识点 5 平面向量投影的坐标表示
已知非零向量 ， 是 与 的夹角，则向量 在向量 方向上的投影
为
向量 在向量 方向上的投影为
考点一 平面向量数量积的坐标运算
解题方略：
平面向量数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　　　　
【例 1】已知 ， ，则 =___________.
变式 1：设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．12　　　B．0 C．－3 D．－11
变式 2：设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　)
A．11 B．5 C．－14 D．10
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