第08讲 平面向量数乘运算的坐标表示 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第8讲 平面向量数乘运算的坐标表示
知识点 1 平面向量运算的坐标运算
运算 坐标表示
任一向量的坐标 已知 A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．
向量的加法、减法
运算的坐标表示
已知 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–
y2）．
向量的数乘运算的
坐标表示
已知 a=（x1，y1），则 λa=（λx1，λy1），其中 λ是实数．
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2的中点 P的坐标为(x，y)，
则
知识点 2 平面向量共线的坐标表示
（1）向量 a，b共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
注：a∥b的充要条件不能表示成 =，因为 x2，y2有可能等于 0．
（2）向量共线的坐标表示的推导
①设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则 a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为 a∥b⇔( x 1， y 1) ＝ λ ( x 2， y 2)，
即a∥b⇔⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
②设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
综上①②，向量共线的坐标表示为 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
注：判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
， ，
若 则 A，B，C三点共线.
考点一 平面向量的数乘运算的坐标运算
解题方略：
（1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组.
（2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应
先求出向量的坐标.求点 P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点 P为终点的向量的坐标.
【例 1】已知向量 ，则 ___________
【解析】 ， ，故答案为：
变式 1：如果向量 ， ，那么 等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意， ，故选：B
变式 2：已知向量 a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则 b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0)
【解析】b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选 A.
变式 3：若向量 ， ， ，则 ___________.
【解析】由已知 ．故答案为： ．
变式 4：设 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
【解析】因为 ， ，
所以 ，则 .
故选：D.
变式 5：已知向量 ，则 （ ）
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