第06讲 平面向量的正交分解及坐标表示 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第6讲 平面向量的正交分解及坐标表示
知识点 1 平面向量运算的正交分解
1、向量的分解
一个平面向量 a用一组基底 e1，e2表示成 a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
2、向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底．
知识点 2 平面向量运算的坐标表示
1、向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取{i，j}作为基底，对于
平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，我们把有
序实数对( x ， y ) 叫做向量 a的坐标，记作 a＝( x ， y ) ，此式叫做向量 a的坐标表示，其中 x叫做 a在x轴上的
坐标，y叫做 a在y轴上的坐标．
注：关于平面向量的坐标表示
(1)相等的向量坐标相同；
(2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关．
在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向
量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
(3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
2、向量与坐标的关系
设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点 A的坐标；反过来，终点 A的坐标(x，y)就是向量OA的坐
标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与
实数对是一一对应的．
注：点的坐标与向量的坐标
(1)区别：
(ⅰ)表达形式：向量 a＝(x，y)，点 A(x，y)；
(ⅱ)意义不同：点 A(x，y)表示点 A在平面直角坐标系中的位置；向量 a＝(x，y)表示向量的大小、方向．
(2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同．
考点一 平面向量的坐标表示概念辨析
【例 1】下列说法正确的有(　　)
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1个　　B．2个 C．3个 D．4个
【解析】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，②③④正确．故选 C.
变式 1：如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，OA，a是平
面内的向量，且 A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①向量 a可以表示为 a＝mi＋nj；
②只有当 a的起点在原点时 a＝(x，y)；
③若 a＝OA，则终点 A的坐标就是向量 a的坐标．
【解析】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝OA
时，均有 a＝(x，y)，所以②错，③正确．
变式 2：已知向量 =(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量 ，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数 x，y，使得 =(x,y)；
②若 x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则 x1≠x2且y1≠y2；
③若 x，y∈R，=(x,y)，且 ≠ ，则 的始点是原点 O；
④若 x，y∈R， ≠ ，且 的终点坐标是(x,y)，则 =(x,y)．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数 x，y使 ，①正确；
举反例， =(1,0)≠(1,3)，但 1=1，②错误；
由向量可以平移，所以 =(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误；
当 的终点坐标是(x,y)时， =(x,y)是以 的始点是原点为前提的，④错误．
故选：A
考点二 求向量的坐标
解题方略：
1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标
得到该向量的坐标．　　
已知 A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．
2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，
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