第06讲 空间直线、平面的垂直 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第6讲 空间直线、平面的垂直
知识点 1 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O作直线 a′ a∥，b′ b∥，则 a′与b′所成的锐角(或直
角)叫做异面直线 a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角 θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线 a，b所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作 a b.⊥
知识点 2 直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
定义 如果直线 l与平面 α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面 α互相垂直
记法 l⊥α
有关
概念
直线 l叫做平面 α的垂线，平面 α叫做直线 l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一
的公共点 P叫做垂足．
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
注：1．对直线与平面垂直的几点说明
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形．
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意
一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直
图形
语言
符号
语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用 判断直线与平面垂直
注：1．理解直线与平面垂直的判定定理
不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”．实际上，由基本事实 4
可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直
线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行．
2．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其
记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明
一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．直线与平面垂直的
判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直．在应用该定理判断一条直线和一个
平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线
3．直线和平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平
面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上
的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我
们说它们所成的角等于 ．因此，直线与平面所成的角 α的范围是 ．
注：(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线
所成的角．
(2)判断方法
首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为 0°的角；
若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为 90°.
其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利
于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角
形中求解．
知识点 3 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒
图形语言
作用
（1）证明两直线平行；
（2）构造平行线
注1．剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化
的依据．
(4)定理的推证过程采用了反证法．
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