第05讲 平面向量基本定理 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第5讲 平面向量基本定理
知识点 1 平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
注：平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
知识点 2 基底的性质
(1)不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为
基底．
(2)不唯一性
对基底的选取不唯一，平面内任一向量 a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示．
(3)如果对于一组基底 e1，e2，有 a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到 ．
考点一 对基向量概念的理解
解题方略：
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基
底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来 . 设向量 a与b
是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 x1＝x2且y1＝y2.
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．　　　　
【例 1】下列关于基底的说法正确的序号是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①②　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】由基底的定义可知①③正确. 故选 B.
变式 1：如果 e1，e2是平面 α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面 α内的所有向量；
②对于平面 α内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量 λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝；
④若存在实数 λ，μ，使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0.
A．①②　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
【解析】由平面向量的基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量的基本定理可知，若平面的基
底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于 ③，当 λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0
时，结论不成立．故选 B.
变式 2：设 是同一个平面内的两个向量，则有（ ）
A． 平行
B． 的模相等
C．同一个平面内的任一向量 ，有
D．若 不共线，则对于同一个平面内的任一向量 ，有
【解析】A. 是同一个平面内的两个向量，不一定平行，所以 A错；
B.向量长度不一定相等，即模不一定相等，所以 B错；
C.如果 是平面内的两个共线向量，所以 C错；
D.由平面向量基本定理可得，D正确；
故选 D
【例 2】若 是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【解析】对于 A， ，能作为基底；
对于 B， ，不能作为基底；
对于 C， ，能作为基底；
对于 D， ，能作为基底；
故选：B.
变式 1：如果 e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组
基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2
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