第05讲 抛物线-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

3.0 cande 2025-05-10 25 4 6.58MB 67 页 3知币
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第 05 讲 抛物线
知识点 1 抛物线的定义
平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F叫做抛物线
的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点 F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点 F在直线 l上，点的轨迹是过点 F且垂直于直线 l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点 M；一个定点 F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点 F的距离
与它到定直线 l的距离之比等于 1)．
知识点 2　抛物线的标准方程和几何性质
焦点在 x轴上时，方程的右端为±2px，左端为 y2；焦点在 y轴上时，方程的右端为±2py，左端为 x2．
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离．
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴y轴
焦点 F F F F
【考点目录】
【知识梳理】
离心率 e＝1
准线方程 x
＝－ x
＝ y
＝－ y
＝
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P(x0，y0)) |PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋
知识点 3 直线与抛物线的位置关系
设直线 l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x的方程 k2x2＋
2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当 Δ >0
时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ ＝ 0
时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ <0
时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
知识点 4 弦长问题
过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段 AB 叫做焦点弦，
如图：设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋ x 2＋ p .
注：(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线 AB 的倾斜角)．
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
（5）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
考点一 抛物线的标准方程
（一）求抛物线的标准方程
1．（2022 春·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在 轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为
3，则此抛物线的标准方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的性质，求出 ，然后求得抛物线方程即可.
【详解】解：焦点在 轴正半轴上的抛物线标准方程为 ，
又准线与焦点轴间的距离为 3，可得 ，所以抛物线的标准方程为 .
故选：A.
2．（2022 春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线 上的抛物线的
标准方程为（）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】直线 与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出 ，可得答案.
【详解】直线 与坐标轴的交点为 ，
【考点剖析】
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