第05讲 复数的三角表示 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第5讲 复数的三角表示
知识点 1 复数的三角表达式
1.定义：
r (cos θ ＋ isin θ ) 叫做复数 z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数 z的模；θ是以 x轴的
非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区
分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
注意：复数三角形式的特点
模非负，角相同，余弦前，加号连
2．非零复数
z
辐角
θ
的多值性
以x轴正半轴为始边，向量OZ所在的射线为终边的角 θ叫复数 z＝a＋bi的辐角，因此复数 z的辐角
是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．
3.辐角主值
(1)表示法：用 argz表示复数 z的辐角主值．
(2)定义：适合[0,2π)的角 θ叫辐角主值．即 0≤arg z<2π.
(3)唯一性：复数 z的辐角主值是确定的、唯一的．
知识点 2 复数的代数形式与三角形式的互化
复数 z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为
知识点 3 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
知识点 4 复数三角形式的乘法及其几何意义
设 、 的三角形式分别是：
简记为 ：模数相乘，幅角相加.
几何意义：把复数 对应的向量 绕原点逆时针旋转 的一个辐角，长度乘以 的模，所得向量对
应的复数就是 ．
知识点 5 复数三角形式的除法及其几何意义
设 、 的三角形式分别是：
简记为 ：模数相除，幅角相减
几何意义：把复数 对应的向量 绕原点顺时针旋转 的一个辐角，长度除以 的模，所得向量对
应的复数就是 ．
考点一 复数代数形式表示成三角形式
解题方略：
复数代数形式表示成三角形式的方法
先由复数确定点(a，b)所在的象限，而 a，b的符号决定角 θ的终边所在的象限，然后由 tan
θ＝确定 θ角的大小．对于实部和虚部都是三角函数的复数求辐角，可灵活运用三角公式化
为复数的三角形式，若复数为零，则辐角任意．　　　
【例 1】下列复数是复数三角形式表示的是(　　)
A.　　 B．－
C. D．cosπ＋isinπ
【解析】选项 A，cos 与isin 之间要用“＋”连接，不是用“-”连接；选项 B，－<0 不符合 r≥0要求；选
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