第04讲 双曲线-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-10 16 4 1.39MB 24 页 3知币
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第 04 讲 双曲线
知识点 1 双曲线的定义
把平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这
两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以 F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支 ,取决于
与 的大小.
若①,则,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
若②,则,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
知识点 2 双曲线的标准方程及简单几何性质
【考点目录】
【知识梳理】
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点 F1( － c, 0) ， F 2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c )
焦距 | F 1F2| ＝ 2 c
范围 x ≤ － a
或 x ≥ a ，y∈y ≤ － a
或 y ≥ a ，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1( － a, 0) ， A 2( a, 0) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a )
轴
实轴：线段 A1A2，长：；
虚轴：线段 B1B2，长：；
半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈(1 ，＋ ∞ )
渐近线 y＝±x y＝±x
注：（1）在双曲线的标准方程中，看 x2项与 y2项的系数的正负：若 x2项的系数为正，则焦点在 x轴上；
若y2项的系数为正，则焦点在 y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．
（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.
（3）与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b．
（5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为 Ax2＋By2＝1的形式，当 A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当 A·B＜0
时为双曲线.
知识点 3 双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义
和正弦定理、余弦定理．
以双曲线
x2
a2−y2
b2=1(a>0, b>0)
上一点 P(x0，y0)(y0≠0)和焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2
中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：
||PF1|−|PF2||=2a
(2)余弦定理：
|F1F2|
2
＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，
重要结论：S△PF1F2=
b2
tan θ
2
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
知识点 4 等轴双曲线和共轭双曲线
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为 y＝±x，离心率 e＝.
(3)等轴双曲线的方程
， ；
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数 1.
知识点 5 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 ax2＋bx＋c＝0的形式，在 a≠0的情况下考察
方程的判别式．
(1)Δ>0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0 时，直线与双曲线没有公共点．
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