第04讲 平面向量的数量积 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）

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第4讲 平面向量的数量积
知识点 1 向量数量积的物理背景
如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功 ，其中 θ为
力 与 的夹角．功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.
知识点 2 向量数量积的概念
（1）向量的夹角
已知两个非零向量 a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向
量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当 θ＝π时，a与b反向.如果 a与b的夹角是，则称 a
与b垂直，记作 a⊥b.
（2）数量积的定义
已知两个非零向量 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(或内
积)，记作 ，即 ，其中 是 与 的夹角．
注：零向量与任一向量的数量积为 0．非零向量数量积的运算结果是一个数量，当 0°≤θ<90°时，
a·b>0；当 90°<θ≤180°时，a·b<0；当 θ＝90°时，a·b＝0.特别地，如若 a或b等于零，则 a·b＝0.
向量的线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量 ,这个数量的大小与两个向量的长
度及其夹角有关.
（3）投影向量的概念
如图（1），设 是两个非零向量， ，作如下变换：过 的起点 A和终点 B，分
别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影，
叫做向量 在向量 上的投影向量.
如图（2），在平面内任取一点 O，作 .过点 M作直线 ON 的垂线，垂足为 ，则
就是向量 在向量 上的投影向量.
（3）数量积的几何意义
设非零向量 与 的夹角是 ，则 ( )叫做向量 在 方向上(在 方向上)的投影 ．
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 与 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 在 方向上的投影
的情形，其中 ，它的意义是，向量 在向量 方向上的投影长是向量 的长度．
由向量投影的定义，我们可以得到 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上的
投
影 的乘积．
知识点 3 向量数量积的性质
设向量 a与b都是非零向量，它们的夹角为 θ，e是与 b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝| a | 2
或|a|＝.
注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.
(4) ，其中 是非零向量 与 的夹角；
注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.
(5)|a·b|≤|a||b|.当且仅当向量 共线，即 时等号成立
注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.
知识点 4 向量数量积的运算律
交换律： ；
数乘结合律： ；
分配律： ．
注：(1)向量的数量积不满足消去律：若 a，b，c均为非零向量，且 a·c＝b·c，但得不到 a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量 c共线，a·(b·c)与向量
a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立.
(3) ； ．
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