第04讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）

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第4讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点 1 平面
1．平面的概念
①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．
②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平
面的局部形象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是
无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分．
注：平面是平的，是无限延展的，没有厚薄，大小之分
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面．
当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成 45°，
且横边长等于其邻边长的 2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平
行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线
画出来.
注：立体几何画图或作辅助线的原则——看得见的画成实线，看不见的画成虚线.即眼见为实，眼不见为虚.
3．平面的表示
①用希腊字母表示，如平面 α，平面 β，平面 γ.
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面 ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面 AC，平面 BD.
④用平面内不共线的三个点来表示平面
4．平面的几个特点
(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的．
5．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
从集合的角度理解点、直线、平面
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的
集合．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集。
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表
示．
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上A∈l
A在l外A
∉
l
A在α内A∈α
A在α外A
∉
α
l与 m平行 l//m
l，m相交于 A l∩m＝A
l与 m异面
l在α内l⊂α
l与α平行 l//α
l，α相交于 A l∩α＝A
l在α外l
⊄
α
α，β相交于 l α∩β＝l
α与β平行 α//β
知识点 2 平面的基本性质
1．三个基本事实：
（1）基本事实 1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面 α，使 A α，B α，C α．如图所示：
意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条
件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
作用：①确定平面；②判定两平面是否重合；③证明点、线共面．
注：(1)基本事实①的条件为“过不在一条直线上的三点”，如果改为“过三个点”，则可能存在无数
个平面
(2)基本事实①的结论为“有且只有一个平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性
（2）基本事实 2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：A l，B l，且 A α，B α⇒l⊂α．如图所示：
意义：说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延
伸”来描述平面的“无限延展”．
作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法．
注：(1)直线是平面的真子集
(2)整条直线在平面内，则直线上的所有点都在平面内
（3）基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示：P α，且 P β⇒α∩β＝l，且 P l．如图所示：
意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．
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