第04讲 概率的基本性质 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第4讲 概率的基本性质
知识点 1 概率的性质
1．概率的性质
(1)对任意事件 A，都有 P ( A ) ≥ 0 .
(2)P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
(3)A与B互斥，P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ．
(4)A与B互为对立事件，P(B)＝1－P(A)，
P(A)＝1－P(B)．
(5)如果 A⊆B，P(A)≤P(B)．
(6)A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
注：①一般地，对于事件 A和事件 B，如果 A⊆B ，即事件 A发生，事件 B一定发生，那么事件 A的
概率不超过事件 B的概率
②对于任意事件 A，因为∅⊂A Ω⊂，所以 0≤P(A)≤1
③概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上有区别：在公式 P(A)+P(B)=P(A B)∪
中，事件 A，B是互斥事件；在公式 P(A B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)∪中，事件 A，B可以是互斥事件，也可以
不是互斥事件
2．概率的加法公式
(1)当A与B互斥(即AB＝∅)时，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
注：互斥事件的概率加法公式应用的前提是“事件 A 和事件 B 互斥”，否则不可以用这个公式. 实际
上，对于事件 A，B，有 P(A∪B)≤P(A)+P(B)，只有当事件 A 和事件 B 互斥时，等号才成立.
(2)一般地，如果 A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则 P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋
P(Am)．
(3)P(A)＋P()＝1.
注：如果事件 A 和事件 B 为对立事件，那么它们的概率之和为 1
3．求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
考点一 互斥事件、对立事件的概率
解题方略：
含“至多”、“至少”等词语的概率的计算
(1)互斥事件的概率加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转
化为所求问题．　　　　
【例 1】下列说法正确的是(　 　)
A．事件 A，B中至少有一个发生的概率一定比 A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件 A，B同时发生的概率一定比 A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
【解析】对于 A，当 A、B为对立事件时，A, B 中至少有一个发生的概率和 A，B中恰有一个发生的概率相
等，故 A错；对于 B，若 A、B是相等事件，此时 A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为 0，故 B错；
C正确，D错误．故选 C.
【例 2】某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为
和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事
件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＋＝.故选 A.
变式 1：根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为： O型52%，A型15%，AB 型5%，B型
28%.现有一血型为 A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为(　　)
A．67% B．85%
C．48% D．15%
【解析】O型血与 A型血的人能为 A型血的人输血，故所求的概率为 52%＋15%＝67%.故选 A.
变式 2：口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1个球，摸出红球的概率是
0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是________．
【解析】摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是 1－0.42－0.28＝0.3.
答案：0.3
变式 3：一个袋子里有 4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记 A＝{摸出黑球}，B＝{摸
出红球}，C＝{摸出白球}，则事件 A∪B及B∪C的概率分别为(　　)
A.， B．，
C.， D.，
【解析】P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.故选 A.
变式 4：围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中
任意取出 2粒恰好是同一色的概率是(　 　)
A. B.
C. D．1
【解析】设“从中取出 2粒都是黑子”为事件 A，“从中取出 2粒都是白子”为事件 B，“从中任意取出 2
粒恰好是同一色”为事件 C.则P(A)＝，P(B)＝.
由互斥事件的概率加法公式可得 P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中任意取出 2粒恰好是同一色的概率是，故
选C.
变式 5：对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产
品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上
的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　　)
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