第04讲复数的乘、除运算 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）

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第4讲复数的乘、除运算

知识点 1 复数的乘法及其运算律

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积

(a＋bi)(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i .

(2)复数乘法的运算律

对于任意 z1，z2，z3∈C，有

交换律 z1z2＝z2z1

结合律 (z1z2)z3＝z1( z 2z3)

乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋ z 1z3

注：对复数乘法的三点说明

(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、

虚部分开(i2换成－1)．

(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．

(3)常用结论

①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；

②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

③(1±i)2＝±2i.

知识点 2 共轭复数

1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 .虚部不等于 0的两

个共轭复数也叫共轭虚数

2、表示：z的共轭复数用表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi

知识点 3 复数的除法

1、复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

则＝＝＋i.

注：对复数除法的两点说明

(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数 c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数

化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．

特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．

2、记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②＝－i，＝i；③＝－i.

考点一复数代数表示式的乘法运算

解题方略：

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

(1)首先按多项式的乘法展开；

(2)再将 i2换成－1；

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R);

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i.　　　　

【例 1】i(2＋3i)＝(　　)

A．3－2i　　 B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i

变式 1：若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1z2等于(　　)

A．4＋2i　　　　　　　 B．2＋i

C．2＋2i D．3＋i

变式 2：计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)

A．2－13i B．13＋2i

C．13－13i D．－13－2i

变式 3：下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)

A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)

C．(1＋i)2 D．i(1＋i)

变式 4：设，则“ ”是“复数为纯虚数”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【例 2】(1＋i)20－(1－i)20 的值是(　　)

A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512

变式 1：i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用 a＋bi的形式表示，a，b∈R）．

变式 2：若是虚数单位，则 __________.

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